Géométrie
Théorèmes du cercle
Trois théorèmes sur les angles au centre, les angles inscrits et les diamètres — les règles qu'un cercle impose silencieusement.
Pourquoi les roues sont-elles toujours rondes ? Parce que chaque point d'un cercle est à la même distance du centre — ainsi la promenade ne rebondit jamais. À l'intérieur de cette forme "absolument juste" se cachent plusieurs lois magnifiques concernant les angles.
D'abord, bien nommer les choses
Le centre est ; le segment joignant le centre à un point du cercle est le rayon, et son cousin doublé passant par le centre est le diamètre. Vous avez rencontré ces parties dans cercles. Aujourd'hui, les vedettes sont deux types d'angles — tous deux des angles ordinaires, mesurés de la manière habituelle :
- Un angle au centre : sommet au centre, côtés touchant deux points du cercle ;
- Un angle inscrit : sommet sur le cercle lui-même, côtés le long de deux cordes.
L'arc de circonférence compris entre les côtés est un arc — et le partenariat entre les arcs et les angles est le sujet principal d'aujourd'hui (il joue des rôles plus importants dans arcs et secteurs).
Comment utiliser
Diamètre d
d = 6
Circonférence C = 2πr
C = 18.85
Aire A = πr²
A = 28.27
C = 2πr = 2π×3 ≈ 18.85 · A = πr² = π×3² ≈ 28.27
Faites glisser le curseur du rayon et observez le diamètre, la circonférence et l'aire suivre — le diamètre est toujours le double du rayon. Échauffé ? Passons aux trois théorèmes.
Le théorème de l'angle inscrit : la relation de moitié
Regardez le même arc une fois depuis le centre, puis depuis n'importe quel point du cercle : l'angle inscrit est toujours la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc. Depuis le centre, l'arc est proche, donc la vue est la plus large ; reculez jusqu'au bord et le même arc rétrécit à la moitié de sa taille apparente. Un angle au centre de 80° correspond à un angle inscrit de 40° ; 90° correspond à 45°.
Les angles inscrits sur le même arc sont égaux
Deux élèves se tiennent à des endroits différents sur le cercle (du même côté) et regardent un arc partagé : les angles inscrits qu'ils mesurent sont égaux — chacun est la moitié du même angle au centre, et une moitié égale l'autre. Avec un angle au centre de 60°, où que vous soyez du côté de l'arc du cercle, l'angle inscrit mesure 30°. "Même arc" agit comme un certificat d'égalité du cercle : changez votre position, pas votre angle.
Un angle dans un demi-cercle vaut 90°
L'arc le plus spécial est le demi-cercle — ses extrémités sont reliées par un diamètre. L'angle au centre qui intercepte un diamètre est l'angle plat de 180°, donc depuis n'importe quel point du cercle, l'angle inscrit qui fait face à ce diamètre est toujours . En d'autres termes : un triangle inscrit dans un cercle avec un côté comme diamètre doit être un triangle rectangle, avec le diamètre comme hypoténuse — une poignée de main élégante avec le théorème de Pythagore. Besoin d'un angle droit sans rapporteur ? Tracez un cercle, tirez un diamètre, marquez n'importe quel point sur le bord — trois gestes et c'est fait.
Les trois théorèmes en une fois
Un arc intercepte un angle au centre de 100°, et , sont deux points sur le même côté du cercle : — chacun est la moitié de l'angle au centre, donc égaux entre eux. Remplacez l'arc par un demi-cercle (angle au centre de 180°) et l'angle inscrit devient 90°. Les trois théorèmes sont une seule famille : ils découlent tous de "angle inscrit = angle au centre ÷ 2".
Vérifiez vos connaissances
Quiz rapide
1. Un arc intercepte un angle au centre de 100°. Quel est son angle inscrit ?
2. AB est un diamètre et C est un point quelconque du cercle. Que vaut ∠ACB ?
3. C et D se trouvent sur le même côté du cercle, tous deux regardant l'arc AB. Comment ∠ACB et ∠ADB sont-ils liés ?