Arcs et secteurs

Une pizza arrive et vous vous coupez une part. Deux choses sur cette part méritent d'être mesurées : la longueur de la croûte et la quantité de pizza qu'elle couvre. Chacune est une partie d'un cercle — un arc et un secteur. Et quelle est la taille de la part ? Un seul nombre la détermine : l'angle au centre.

L'angle au centre détermine la part

L'angle entre deux rayons tracés depuis le centre est l'angle au centre. Le cercle entier mesure $360°$ , donc un angle de $n$ vous donne une fraction naturelle :

$\frac{n}{360}$

Une part de $90°$ prend $\frac{90}{360} = \frac{1}{4}$ du cercle — un quart de la croûte et un quart de la pizza. L'arc et le secteur vont toujours ensemble, et cette règle de synchronisation est exactement la raison pour laquelle les diagrammes circulaires fonctionnent.

InteractifCoupeur de secteur

Comment utiliser

Rayon r3

Diamètre d

d = 6

Circonférence C = 2πr

C = 18.85

Aire A = πr²

A = 28.27

C = 2πr = 2π×3 ≈ 18.85 · A = πr² = π×3² ≈ 28.27

Utilisez l'explorateur pour régler un rayon et lisez la circonférence et l'aire complètes. Ensuite, coupez selon la fraction de l'angle au centre — la longueur de l'arc et l'aire du secteur sont toutes deux prêtes.

Deux formules : une part de chacune

$L = \frac{n}{360} \times 2\pi r \qquad S = \frac{n}{360} \times \pi r^2$

Les formules sont jumelles avec des bases différentes : la longueur de l'arc prend sa part de la circonférence, l'aire du secteur prend sa part de l'aire. Prendre la mauvaise base est l'erreur la plus courante.

Prenez la bonne base

Pour un arc de $60°$ de rayon 3 : $\frac{1}{6} \times 2\pi \times 3 = \pi \approx 3.14$ . Si vous prenez l'aire comme base par erreur, vous obtenez $\frac{1}{6} \times 9\pi \approx 4.71$ — environ la moitié de trop.

Exemple travaillé : un secteur de 90°

Rayon 6, angle au centre $90°$ :

fraction : $\frac{90}{360} = \frac{1}{4}$
longueur de l'arc $L = \frac{1}{4} \times 2\pi \times 6 = 3\pi \approx 9.42$
aire $S = \frac{1}{4} \times \pi \times 6^2 = 9\pi \approx 28.27$

La question de la pizza équitable

Huit personnes partagent une pizza et chaque part doit être égale. Quel angle au centre ? $360° \div 8 = 45°$ . Vous voulez deux fois plus de croûte ? Coupez un angle plus grand — avec le rayon fixe, l'arc et l'aire répondent uniquement à l'angle au centre.

Les arcs et les secteurs autour de vous

Parts de pizza, pales de ventilateur, région balayée par l'aiguille d'une horloge, chaque part d'un diagramme circulaire — tout cela sont des secteurs. Les comparer nécessite un mantra : trouvez d'abord la fraction, puis multipliez par le tout. Pour plus de pratique avec la pensée fractionnaire, rendez-vous sur Pourcentages.

Vérifiez vos connaissances

Quiz rapide

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. Un arc de 180° représente quelle fraction de la circonférence ?
2. Rayon 6, angle au centre 90° : quelle est la longueur de l'arc ?
3. Le rayon reste fixe mais l'angle au centre double. L'aire du secteur…