Théorème de Pythagore

Les histoires racontent qu'il y a quatre mille ans, les bâtisseurs égyptiens étiraient une corde divisée en 12 parties égales pour former un triangle 3-4-5 ( $3+4+5=12$ , en utilisant chaque partie) — et chaque fois que les côtés suivaient ce rapport, le coin formait un angle droit parfait. Ils ne connaissaient pas l'algèbre, mais ils utilisaient déjà le théorème de Pythagore.

Découvrir le triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle avec un angle exactement égal à 90°. Ses trois côtés ont des noms :

Les deux côtés qui touchent l'angle droit sont les côtés de l'angle droit;
Le côté opposé à l'angle droit est l'hypoténuse — toujours le plus long.

Le théorème : une histoire de trois carrés

Construis un carré sur chacun des trois côtés. Il y a plus de deux mille ans, les disciples de Pythagore ont remarqué une relation qui ne faillit jamais :

$a^2 + b^2 = c^2$

Les aires des deux carrés construits sur les côtés de l'angle droit s'additionnent pour donner exactement l'aire du grand carré construit sur l'hypoténuse. Avec les côtés de l'angle droit 3 et 4 : $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ , donc l'hypoténuse mesure 5.

La relation fonctionne aussi en sens inverse : si la somme des carrés des deux côtés les plus courts est égale au carré du côté le plus long, alors le triangle doit avoir un angle droit — pas besoin de rapporteur, juste de l'arithmétique. Les disciples de Pythagore considéraient même cela comme un puzzle : découpe les deux carrés construits sur les côtés de l'angle droit et leurs pièces peuvent toujours être réassemblées pour former le grand carré sur l'hypoténuse.

Fais glisser les côtés de l'angle droit et observe les trois carrés réagir :

InteractifExplorateur de Pythagore

Comment utiliser

Côté a3Côté b4

3² + 4² = 9 + 16 = 25 = c²

Hypoténuse c c = √25 ≈ 5.00整数勾股数 · Pythagorean triple!

Triplets pythagoriciens : des trios prêts à l'emploi

Les triangles rectangles dont les trois côtés sont des nombres entiers apparaissent dans des combinaisons célèbres appelées triplets pythagoriciens :

$3, 4, 5$ : parce que $9 + 16 = 25$ ;
$6, 8, 10$ : agrandis le 3-4-5 par 2 et l'angle droit survit ;
$5, 12, 13$ : parce que $25 + 144 = 169$ .

Et la liste ne se tarit jamais : multiplie 3-4-5 par 3 pour obtenir 9-12-15, par 4 pour obtenir 12-16-20 — chaque copie agrandie fonctionne, car multiplier ne fait qu'agrandir le triangle.

Mémorise 3-4-5 et tu peux sortir un angle droit de ta poche sur un chantier, un plan d'étage ou une grille.

Exemple résolu : une échelle contre un mur

Échelle contre un mur

Une échelle de 5 mètres est appuyée contre un mur, son pied étant à 3 mètres de la base. Quelle hauteur sur le mur le sommet atteint-il ?

L'échelle est l'hypoténuse $c = 5$ , la distance au mur est un côté de l'angle droit $a = 3$ , et la hauteur est $b$ :

$b^2 = c^2 - a^2 = 25 - 9 = 16, \qquad b = 4$

Le sommet se trouve à 4 mètres au-dessus du sol. Pour trouver un côté de l'angle droit, tu soustrais ; pour trouver l'hypoténuse, tu additionnes. Identifie d'abord l'hypoténuse et la formule ne sera jamais inversée.

Uniquement les triangles rectangles

Le théorème de Pythagore est la propriété exclusive des triangles rectangles. Dans un triangle avec des côtés 4, 5 et 6, $4^2 + 5^2 = 41 \neq 36$ — si le triangle n'est pas rectangle, la formule ne s'applique pas. Vérifie que l'angle de 90° existe avant de calculer.

Vérifie tes connaissances

Quiz rapide

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. Un triangle rectangle a des côtés de l'angle droit mesurant 6 et 8. Quelle est la longueur de l'hypoténuse ?
2. Un triangle avec des côtés mesurant 5, 12 et 13 est-il un triangle rectangle ?
3. À quels triangles le théorème de Pythagore s'applique-t-il ?