Identités trigonométriques

Dans la leçon précédente, sin, cos et tan semblaient être trois entrées de tableau sans rapport. En réalité, ils forment une famille : pour un angle donné, les trois rapports satisfont des équations qui sont toujours vraies — les identités trigonométriques. La plus célèbre n'est que le théorème de Pythagore sous un autre habit. Dans cette leçon, nous la dérivons directement de la géométrie, puis nous utilisons les identités pour simplifier une expression.

sin et cos sur le cercle unité

Tracez un cercle de rayon 1 (le cercle unité) centré à l'origine. À partir du centre, tracez un rayon formant un angle $\theta$ avec l'axe des x, rencontrant le cercle en un point. Ce point a pour coordonnées $(\cos\theta, \sin\theta)$ — le cosinus est la coordonnée horizontale, le sinus la verticale.

Pourquoi ? Complétez le triangle : le rayon est l'hypoténuse, et les segments horizontal et vertical sont les côtés de l'angle droit. Le rayon est 1, donc il est l'hypoténuse ; le côté adjacent à $\theta$ est la coordonnée horizontale et le côté opposé à $\theta$ est la coordonnée verticale. Les définitions de la trigonométrie divisent par l'hypoténuse — et diviser par 1 ne change rien, donc les rapports sont simplement les coordonnées. Le cercle unité transforme la trigonométrie d'une propriété des triangles en la position d'un point, et il règle au passage une vieille question : pourquoi sin et cos ne sortent-ils jamais de l'intervalle de −1 à 1 ? La valeur absolue d'une coordonnée ne dépasse jamais la distance du point au centre — et sur un cercle de rayon 1, cette distance est exactement 1.

L'autre nom du théorème de Pythagore

Le point se trouve sur le cercle unité, donc sa distance à l'origine est toujours 1. Appliquez la formule de distance (qui est le théorème de Pythagore) à $(x, y)$ : $x^2 + y^2 = 1$. Remplacez $x = \cos\theta$ et $y = \sin\theta$ :

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

C'est l'identité pythagoricienne, et elle est vraie pour chaque angle. Vérifiez-la avec le tableau de la leçon précédente : à $\theta = 30^\circ$, $0.5^2 + 0.866^2 \approx 0.25 + 0.75 = 1$ ; à $\theta = 45^\circ$, $0.707^2 + 0.707^2 \approx 0.5 + 0.5 = 1$. Aucune exception — chaque extrémité d'angle atterrit sur le cercle unité.

Comment utiliser

Côté a3Côté b4

3² + 4² = 9 + 16 = 25 = c²

Hypoténuse c c = √25 ≈ 5.00整数勾股数 · Pythagorean triple!

Faites glisser les deux côtés et observez les aires des trois carrés. Gardez un œil sur ceci : le carré sur l'hypoténuse est égal à la somme des deux carrés sur les côtés. Réduisez l'hypoténuse à 1 — son carré a une aire de 1, et les deux carrés sur les côtés sont exactement $\cos^2\theta$ et $\sin^2\theta$. L'identité est le théorème de Pythagore vivant sur le cercle unité.

L'identité du quotient : d'où vient tan

Tan a sa propre définition — peut-on l'écrire avec sin et cos ? Divisez le numérateur et le dénominateur de « opposé ÷ adjacent » par l'hypoténuse ; le rapport ne change pas, et ce qui reste est deux rapports familiers qui se divisent l'un l'autre :

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

Cette identité du quotient correspond aussi au tableau : $\tan 45^\circ = 0.707 \div 0.707 = 1$, et $\tan 30^\circ = 0.5 \div 0.866 \approx 0.577$. Sa signification va plus loin — parmi les trois rapports, seulement deux sont indépendants. Le troisième est décidé par les deux premiers : connaissez sin et cos, et tan vient gratuitement.

Simplifier avec les identités

Une identité est un « permis de réarrangement » : ses deux côtés sont toujours égaux, donc vous pouvez les échanger à volonté. Simplifier signifie réécrire une expression sous une forme plus facile.

Dans Règles du sinus et du cosinus, ces rapports sortent des triangles rectangles pour attaquer les triangles obliques.

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Quiz rapide

Réessayer

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. 1. À θ = 45°, sin²θ + cos²θ est égal à ?

   0.51environ 1.41

2. 2. Un angle aigu θ satisfait sinθ = 0.6. Que vaut cosθ ?

   0.40.80.64

3. 3. Simplifiez 1 − sin²θ.

   cos²θsinθ1 − cos²θ