Géométrie
Points, droites et plans
Un point formé par la pointe d'un stylo, une corde tendue, un plateau de table — les trois blocs de construction de base de la géométrie.
Appuyez la pointe d'un stylo sur du papier et vous obtenez un point. Faites glisser le point et sa trace est une droite. Balayez la droite sur le côté et elle s'étend en un plan. Tout le monde de la géométrie est assemblé à partir de ces trois blocs de base. Ils n'ont ni taille ni épaisseur — pure abstraction — pourtant chaque figure que vous avez jamais vue repose sur eux.
Points, segments, demi-droites et droites
Un point est une marque avec une position mais sans taille. Mettez-le en mouvement et vous obtenez une droite, qui se décline en trois variétés :
- Un segment : deux extrémités, une longueur mesurable, comme le bord d'un manuel ;
- Une demi-droite : une extrémité, s'étendant à jamais dans l'autre direction, comme le faisceau d'une lampe de poche ;
- Une droite : aucune extrémité du tout, infinie dans les deux directions — elle ne peut jamais être entièrement mesurée.
Les extrémités font toute la différence : plus il y a d'extrémités, plus la droite est docile. Un segment est maintenu aux deux extrémités, donc sa longueur peut être mesurée ; rien ne retient une droite, donc elle ne s'épuise jamais.
Deux faits irréfutables
Deux faits de base ancrent presque tout argument géométrique :
- Par deux points passe exactement une droite. Lorsque deux personnes tiennent chacune une extrémité d'une corde à accrocher un tableau, elle se tend en une seule ligne droite — c'est le fait à l'œuvre ;
- Deux droites distinctes se rencontrent en au plus un point. Si deux droites partageaient deux points, elles devraient être une seule et même droite.
Le deuxième fait a une exception importante : les droites parallèles ne se rencontrent jamais, donc leur nombre d'intersections est zéro. Et quand une droite rencontre un plan, l'histoire change encore — une droite perce un plan en exactement un point.
Plans et leurs coutures
Une feuille de papier, un mur, un lac calme — chacun joue le rôle d'un plan : plat, droit et infiniment étendu. Le vrai papier a des bords ; un plan mathématique n'en a pas. Partout où deux plans se rencontrent, la couture est toujours une droite :
- Le plafond et un mur se coupent le long d'un pli parfaitement droit ;
- Dans le coin d'une pièce, deux murs et le sol se coupent par paires, produisant trois droites — et ces trois droites passent toutes par un seul point.
Les formes solides sont construites exactement à partir de telles faces, droites et points ; la leçon sur les formes solides raconte cette histoire.
Essayez les maths
Une droite passant par A et B
Par le point A seul, vous pouvez tracer une infinité de droites — fixez votre stylo en A et faites-le pivoter. Par B seul, également une infinité. Mais par A et B ensemble passe exactement une droite. Infini plus infini, pourtant une contrainte supplémentaire rend la réponse unique.
Comptez le coin
Un coin de pièce est délimité par trois plans : deux murs et le sol. Se rencontrant par paires, ils produisent chacun une couture — 3 droites en tout — et toutes les trois passent par le même point. Comptez à l'envers : un coin est 1 point, 3 droites et 3 plans. La géométrie n'est jamais inventée de rien ; elle se cache dans la pièce même qui vous entoure.
Continuez à marcher le long des points et des droites, et ils s'ouvrent sur les angles.
Vérifiez-vous
Quiz rapide
1. Combien de droites passent par deux points différents ?
2. Quel type de droite a une longueur mesurable ?
3. Deux plans non parallèles se coupent en quoi ?