Expressions rationnelles

Une demi-pizza est $\frac{1}{2}$ , et deux parts de $\frac{1}{4}$ font aussi une moitié — vous possédez depuis longtemps l'intuition des fractions. Maintenant, remplacez les nombres du numérateur et du dénominateur par des expressions, par exemple $\frac{3}{x}$ ou $\frac{x+1}{x-3}$ : c'est une expression rationnelle. Détendez-vous — aucune règle apprise avec la pizza n'est abrogée.

Une expression rationnelle est de l'algèbre vêtue d'un manteau de fraction

Une fraction divise un nombre par un nombre ; une expression rationnelle divise une expression par une expression : dès que le numérateur ou le dénominateur contient un polynôme, cela compte. Les vieilles routines — simplification, dénominateurs communs, addition de fractions semblables — ont été pratiquées dans l'arithmétique des fractions, et elles se transfèrent inchangées, les expressions remplaçant les nombres.

InteractifComparateur de pizzas fractionnaires

Comment utiliser

3/4

Numérateur

Dénominateur

3/4 > 5/8

A supérieur à B

5/8

Numérateur

Dénominateur

Comparer avec : 3/4 = 6/8 —— Multiplicateur équivalent ×2

Échauffez-vous d'abord sur la pizza : laquelle est la plus grande, $\frac{3}{6}$ ou $\frac{1}{2}$ ? Mises côte à côte, elles sont égales — car 3 et 6 ont été divisés par le même 3. Ce geste « diviser les deux » est l'âme de la simplification, à suivre.

Simplification : les facteurs communs partent ensemble

La propriété de base des fractions : multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul et la fraction conserve sa valeur. Les expressions rationnelles la recopient mot pour mot : multiplier le numérateur et le dénominateur par une même expression non nulle ne change rien. Ainsi

$\frac{6x}{9} = \frac{2x}{3}, \qquad \frac{x^2 + 3x}{x} = \frac{x(x+3)}{x} = x + 3$

Le geste clé dans la deuxième est la factorisation : décomposer d'abord numérateur et dénominateur en produits, afin que les facteurs communs aient quelque chose à simplifier — le même geste que la simplification du 3 dans $\frac{3}{6}$ .

Simplifiez les facteurs, jamais les termes d'une somme

$\frac{x+2}{2} \neq x + 1$ ! Le numérateur est une somme maintenue par des signes plus ; le 2 est l'un des deux termes, pas un facteur. Remplacez $x = 2$ pour vérifier : le membre de gauche vaut $\frac{4}{2} = 2$ , le membre de droite vaut 3 — pris en flagrant délit. La simplification ne fonctionne que sur des facteurs d'un produit.

Le dénominateur ne peut pas être zéro

La fraction $\frac{3}{0}$ ne signifie rien, et les expressions rationnelles héritent de la loi : dès qu'un dénominateur devient zéro, toute l'expression casse. Ainsi chaque expression rationnelle porte une règle cachée — $\frac{3}{x}$ exige $x \neq 0$ , et $\frac{x-2}{x-5}$ exige $x \neq 5$ . Un numérateur nul est sans danger : $\frac{0}{5} = 0$ est parfaitement valable, cela vaut simplement zéro.

La ligne rouge accompagne l'expression : $\frac{x^2-1}{x+1} = \frac{(x+1)(x-1)}{x+1} = x - 1$ , mais la condition $x \neq -1$ doit être conservée — le dénominateur d'origine ne pouvait pas être nul, et la forme simplifiée obéit à la même règle.

Simplifiez, puis vérifiez avec un nombre

Simplifiez $\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}$ . Le numérateur est la différence de carrés $(x+2)(x-2)$ et le dénominateur est le carré parfait $(x+2)^2$ — les produits remarquables fonctionnant à l'envers. Simplifiez $(x+2)$ pour obtenir $\frac{x-2}{x+2}$ , avec $x \neq -2$ . Vérification : à $x = 1$ , l'expression d'origine vaut $\frac{-3}{9} = -\frac{1}{3}$ et la forme simplifiée vaut $\frac{-1}{3}$ — elles concordent, la simplification est donc valable.

Remplacez par un nombre, l'assurance finale

La simplification est-elle correcte ? Remplacez et regardez : choisissez un $x$ qui n'est pas sur la liste interdite, et l'expression avant et après simplification doit produire la même valeur. L'astuce est une vieille amie de la substitution. Prenez l'habitude en trois étapes : notez la condition du dénominateur, factorisez et simplifiez, puis remplacez par un nombre pour vérifier — et les expressions rationnelles ne vous piégeront plus jamais.

Vérifiez-vous

Quiz rapide

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. Que vaut x/3 + x/3 ?
2. Que vaut (x² − 1)/(x + 1) simplifiée ?
3. Pour quel x l'expression (x + 1)/(x − 3) n'a-t-elle aucun sens ?