Tracer des fonctions du second degré

Après qu'un ballon de basket quitte vos mains, sa trajectoire n'est ni une droite ni un arc de cercle, mais une courbe élégante qui monte, atteint un sommet puis redescend — une parabole. Les jets de fontaine et les arches de pont en portent la silhouette. Derrière cette courbe se trouve une fonction très simple :

$y = ax^2 + bx + c$

Tracer d'abord la parabole la plus simple

Partez de $y = x^2$ et construisez un tableau de points (placés sur des coordonnées cartésiennes) :

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y = x^2$	4	1	0	1	4

Reliez les points et une courbe en forme de bol apparaît. Remarquez sa symétrie : $x = -2$ et $x = 2$ produisent le même $y$ — le carré avale le signe moins. Le point le plus bas $(0, 0)$ est le sommet, et la droite verticale qui partage la courbe en deux moitiés miroir est l'axe de symétrie.

Le sens d'ouverture se lit avec a

$a > 0$ : la parabole s'ouvre vers le haut, comme un bol, et le sommet est le minimum ;
$a < 0$ : elle s'ouvre vers le bas, comme un parapluie, et le sommet est le maximum.

$|a|$ contrôle la forme : $y = 2x^2$ atteint déjà 2 pour $x = 1$ , plus raide et plus étroite que $y = x^2$ , tandis que $y = 0.5x^2$ monte lentement et paraît plus large. Si $a = 0$ , le terme carré disparaît et il ne reste que $y = bx + c$ — la parabole s'aplatit en une droite. Le coefficient $a$ est l'âme de la parabole.

Axe de symétrie et sommet

Pour la forme générale, l'axe de symétrie est la droite verticale

$x = -\frac{b}{2a}$

et le sommet se trouve dessus. Par exemple, $y = x^2 - 4x + 3$ a pour axe $x = -\frac{-4}{2} = 2$ et pour hauteur du sommet $4 - 8 + 3 = -1$ , c'est-à-dire $(2, -1)$ .

D'où vient cette formule ? De la symétrie. Remplacez $x$ par 1 et vous obtenez 0 ; remplacez $x$ par 3 et vous obtenez encore 0 — deux points de même hauteur doivent être symétriques par rapport à l'axe, et leur milieu $\frac{1+3}{2} = 2$ est exactement cet axe.

Ne perdez pas le signe moins

Le signe moins devant $x = -\frac{b}{2a}$ est la chose la plus facile à oublier. Dans $y = x^2 - 4x + 3$ , on a $b = -4$ , donc $-\frac{-4}{2} = 2$ — un négatif multiplié par un négatif devient positif, et l'axe tombe du côté positif.

Le discriminant compte les intersections

Le nombre d'intersections avec l'axe des x est déterminé par le discriminant $b^2 - 4ac$ :

$b^2 - 4ac > 0$ : deux intersections ;
$b^2 - 4ac = 0$ : exactement une — le sommet repose sur l'axe des x ;
$b^2 - 4ac < 0$ : aucune intersection.

Pour $y = x^2 - 1$ , le discriminant vaut $0 + 4 = 4 > 0$ , avec des intersections en $x = \pm 1$ ; pour $y = x^2$ , il vaut 0, une seule intersection ; pour $y = x^2 + 1$ , il vaut $-4 < 0$ — même le minimum est situé 1 au-dessus du sol, sans jamais atteindre l'axe des x. L'abscisse d'une intersection est une solution de $y = 0$ , ce qui est exactement le sujet des équations du second degré.

Esquisser une parabole entière

Tracez $y = x^2 - 2x - 3$ : l'axe est $x = \frac{2}{2} = 1$ , le sommet est $(1, -4)$ , et le discriminant $4 + 12 = 16 > 0$ promet deux intersections. Placez quelques points : $x = -1$ donne 0, $x = 0$ donne $-3$ , $x = 3$ donne 0. La courbe descend de $(-1, 0)$ jusqu'à $(1, -4)$ puis remonte vers $(3, 0)$ — sommet, axe et intersections sont tous cohérents.

Quand la balle est-elle au plus haut ?

La hauteur d'une balle lancée est approximativement $h = -5t^2 + 20t$ (mètres). Ici $a = -5 < 0$ , donc la parabole s'ouvre vers le bas. Le sommet se trouve sur l'axe de symétrie à $t = \frac{20}{10} = 2$ secondes, où $h = -20 + 40 = 20$ mètres. Le discriminant $400 > 0$ donne deux zéros : le lancement à $t = 0$ , l'atterrissage à $t = 4$ . Lisez le sommet, et les réponses à « quand » et « à quelle hauteur » arrivent en même temps.

Vérifie tes connaissances

Quiz rapide

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. Dans quel sens s'ouvre y = −3x² ?
2. Quel est l'axe de symétrie de y = x² − 6x + 5 ?
3. Combien d'intersections avec l'axe des x possède y = x² + 2x + 5 ?