Factorisation

Tout le monde peut calculer $3 \times 4 = 12$ ; mais voir 12 et savoir qu'il se décompose en $3 \times 4$, voilà l'œil d'une personne qui factorise. L'algèbre a les mêmes deux directions : transformer $3(x + 2)$ en $3x + 6$, c'est suivre le courant ; remettre $3x + 6$ entre parenthèses sous la forme $3(x + 2)$, c'est l'affaire du jour : factoriser. Dans Variables et la machine à fonctions, tu as déjà joué à « deviner la règle à partir de la sortie » : factoriser, c'est exactement cela, retrouver la règle à l'envers à partir du résultat.

Premier geste : extraire le facteur commun

Regarde $6x + 9$ : les coefficients 6 et 9 ont le facteur 3 en commun, donc on le place devant les parenthèses :

$6x + 9 = 3(2x + 3)$

Que reste-t-il à l'intérieur ? Chaque terme divisé par le facteur commun : $6x \div 3 = 2x$ et $9 \div 3 = 3$. Vérifie en développant : $3 \times 2x + 3 \times 3 = 6x + 9$ — correspondance parfaite. Le facteur commun peut aussi porter une lettre : $5x^2 + 10x = 5x(x + 2)$.

Deuxième geste : décomposer $x^2 + bx + c$

Objectif : $x^2 + 5x + 6$. Pour l'écrire sous la forme $(x + \square)(x + \square)$, les deux nombres dans les cases doivent avoir un produit de 6 et une somme de 5. Cherche un peu : $2 \times 3 = 6$ et $2 + 3 = 5$ — c'est cette paire :

$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$

Vérifie toujours en développant : $(x + 2)(x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$, étape après étape.

Troisième geste : différence de carrés

Un « carré moins un carré » comme $x^2 - 9$ a une décomposition fixe :

$x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$

Vérifie en développant : $(x + 3)(x - 3) = x^2 - 3x + 3x - 9$ — les deux termes du milieu s'annulent, laissant $x^2 - 9$. Toute expression de la forme $a^2 - b^2$ se décompose en $(a + b)(a - b)$. Repérer les carrés est la première étape : $x^2$, c'est $x \cdot x$, et $9$, c'est $3^2$ — le travail fait sur les exposants sert ici.

Surveille le sens : la différence de carrés $x^2 - 9$ se décompose ; $x^2 + 9$ est une somme de carrés — pour l'instant, retiens qu'elle ne se décompose pas.

Lunette à facteurs

Comment utiliser

Une règle secrète se cache dans la machine. Donne-lui des nombres et devine la règle !

Entrée

? ? ?

Sortie

—

Révéler la règleNouvelle règle

La machine transforme la règle « fois 3, puis plus 2 » en sortie $3x + 2$ : c'est le développement, vers l'aval. Factoriser va vers l'amont : regarder $3x + 2$ et demander « quelle règle t'a construit ? » Fais défiler plusieurs règles dans la machine et sens les deux directions à l'œuvre : développer vers l'aval, factoriser vers l'amont.

À quoi ça sert

Son entrée en scène est spectaculaire : résoudre des équations. Une fois $(x - 5)(x + 2) = 0$ factorisé, les réponses sortent toutes seules : $x = 5$ ou $x = -2$. Dans les équations du second degré, la factorisation est la première clé de la porte.

Vérifie tes connaissances

Quiz rapide

Réessayer

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. 1. Quelle est la factorisation de 6x + 9 ?

   3(2x + 3)3(2x + 9)6(x + 3)

2. 2. Quelle est la factorisation de x² + 7x + 10 ?

   (x + 2)(x + 5)(x + 1)(x + 10)(x - 2)(x - 5)

3. 3. Comment x² - 16 se décompose-t-il ?

   (x + 4)(x - 4)(x - 4)²(x + 4)²