Logarithmes

La multiplication a la division pour opération inverse, l’élévation au carré a les racines carrées pour compagnes — et les exposants ? Leur inverse est le logarithme. $2^3 = 8$ ; demandé à l’envers, « 2 à quelle puissance donne 8 ? », la réponse 3 s’écrit $\log_2 8 = 3$. Ne laisse pas ce nouveau symbole t’effrayer : c’est un raccourci pour une seule question exponentielle.

Rembobiner une puissance

Plus formellement : si $a^c = b$, on écrit $\log_a b = c$. Le membre de gauche demande « combien de puissances de a donnent b », et le membre de droite est la réponse. Les deux écritures disent la même chose :

$2^5 = 32 \quad \Longleftrightarrow \quad \log_2 32 = 5$

$10^3 = 1000 \quad \Longleftrightarrow \quad \lg 1000 = 3$

La vérification suit toujours le même geste : replace c dans l’exposant et vois si b revient. Ce rembobinage est la même idée qu’une racine carrée qui défait un carré : les opérations inverses existent pour faire tourner le film à l’envers.

Machine à puissances, machine à logarithmes

Comment utiliser

Une règle secrète se cache dans la machine. Donne-lui des nombres et devine la règle !

Entrée

? ? ?

Sortie

—

Révéler la règleNouvelle règle

Une règle se cache dans la machine : donne-lui une entrée, observe la sortie, puis devine la règle. Après avoir joué, réfléchis à l’envers : si la règle est $x^2$, la machine qui la défait est la racine carrée ; si la règle est $2^x$, la machine inverse transforme 8 en 3 et 32 en 5, et cette machine de retour en arrière est le logarithme. Les machines inverses échangent l’entrée et la sortie. Le nom formel d’une telle machine est une fonction — elles auront beaucoup plus de temps de scène là-bas.

Deux lois des logarithmes

Le talent le plus sympathique des logarithmes : ils font descendre les opérations difficiles d’un niveau.

Dans le monde des exposants	Dans le monde des logarithmes	Vérification numérique
Multiplier	devient additionner	$\lg 100 + \lg 1000 = 2 + 3 = 5 = \lg 100000$ ✓
Puissances	deviennent coefficients	$\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3\log_2 2 = 3$ ✓

« Multiplier devient additionner » se voit d’un coup d’œil : $100 = 10^2$ et $1000 = 10^3$, et multiplier les nombres additionne les exposants, $2 + 3 = 5$ — donc les logarithmes s’additionnent aussi. « Puissance devient coefficient » est tout aussi pratique : 8 est déjà $2^3$, et le logarithme fait simplement descendre l’exposant 3.

Une règle pour les ordres de grandeur

Les logarithmes sont nés pour les nombres qui sautent par-dessus de nombreux zéros. La notation scientifique compresse les grands nombres en puissances de dix ; le logarithme va plus loin : il lit directement l’exposant comme une graduation. Chaque ×10 dans la valeur fait avancer l’échelle d’un cran.

• L’échelle de Richter pour les séismes est une règle de ce type : un cran de plus en magnitude signifie dix fois l’amplitude du sol. Les magnitudes 6 et 4 diffèrent de 2 crans, donc l’amplitude diffère de $10^2 = 100$ fois.
• Le pH d’une solution fonctionne de la même manière : il est défini comme $-\lg c$ (c étant la concentration en ions hydrogène). Un pH 3 se trouve 3 crans sous un pH 6, donc sa concentration est $10^3 = 1000$ fois plus grande — beaucoup plus acide.

Place les nombres sur une règle logarithmique, et des tailles extrêmement différentes tiennent dans une seule image.

Vérifie tes acquis

Quiz rapide

Réessayer

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. 1. Que vaut log₂32 ?

   456

2. 2. log₂4 + log₂8 est égal au log₂ de quoi ?

   log₂12log₂32log₂6

3. 3. La solution A a un pH de 3 et la solution B un pH de 6. La concentration en ions hydrogène de A est combien de fois celle de B ?

   2 fois100 fois1000 fois