Suites et séries

Des nombres alignés dans l'ordre forment une suite : 1, 3, 5, 7, … chaque nombre est un terme. Les suites de nombres vous demandaient de deviner où mènent de telles files ; ici, nous suivons les deux escouades les plus courantes jusqu'au bout — arithmétique et géométrique — et rencontrons le grand parapluie de l'addition : Σ.

Suites arithmétiques : des pas réguliers

Lorsque chaque terme dépasse le précédent du même nombre, la file est une suite arithmétique, et ce nombre est la raison (différence commune) d. Observez 3, 7, 11, 15, … :

Point de vue récursif : terme suivant = terme courant + 4 ;
Point de vue explicite : le n-ième terme est $a_n = 3 + (n-1) \times 4$ , donc le 10e terme est $3 + 36 = 39$ .

La récursivité est l'instruction « reste collé à la personne devant » ; la formule explicite est un registre : appelez un numéro, trouvez directement la personne, sans compter depuis le début.

Le raccourci par paires de Gauss

Combien font 1 + 2 + … + 100 ? La légende raconte que le jeune Gauss a répondu 5050 avant que le professeur n'ait fini de lire. Son astuce : associer les extrémités.

$1 + 2 + \cdots + 100 = (1+100) + (2+99) + \cdots = 101 \times 50 = 5050$

100 nombres forment 50 paires, chaque paire valant 101. En général, la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique vaut

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Vérifiez-le sur une petite escouade

La suite arithmétique 3, 7, 11, …, 39 possède 10 termes. Formule : $S_{10} = \frac{10 \times (3+39)}{2} = 210$ . Appariement honnête : 3+39=42, 7+35=42, les cinq paires valent 42, $42 \times 5 = 210$ . Deux chemins, une réponse.

Suites géométriques : de plus en plus vite

Lorsque chaque terme est multiplié par le même nombre, la file est une suite géométrique, et ce nombre est la raison (rapport commun) r. Pour 1, 2, 4, 8, … la forme explicite est $a_n = 2^{n-1}$ , et le 20e terme atteint déjà $2^{19} = 524288$ . La courbe sans cesse croissante des intérêts composés est exactement une croissance géométrique.

Plier une feuille 42 fois

Une feuille de 0,1 mm d'épaisseur double d'épaisseur à chaque pliage : après 42 pliages, elle mesure $0.1 \times 2^{42}$ mm — environ $4.4 \times 10^{11}$ mm, soit quelque 440 000 km, au-delà des 380 000 km qui séparent de la Lune. Aucune feuille ne peut réellement survivre à 42 pliages, mais les nombres osent vraiment grandir.

Lire le signe de sommation Σ

La lettre grecque majuscule Σ (sigma) est un raccourci pour « additionnez-les tous » :

$\sum_{k=1}^{100} k = 1 + 2 + \cdots + 100 = 5050$

À lire comme « faites courir k de 1 à 100 et additionnez chaque valeur ». k est l'indice de sommation : l'indice en bas est le départ, l'exposant en haut l'arrivée. Encore une lecture : $\sum_{k=1}^{5} k^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55$ . Et certaines sommes n'arrivent jamais tout à fait : $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots$ se rapproche sans cesse de 2 mais reste toujours un peu en deçà — l'histoire des séries infinies se poursuit dans Limites.

Vérifiez-vous

Quiz rapide

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. Quel est le 20e terme de la suite arithmétique 5, 9, 13, … ?
2. Combien font 1 + 2 + 3 + … + 100 ?
3. Quelle est la règle de la suite 2, 6, 18, 54, … ?