Racines carrées

Vous savez depuis longtemps que $5^2 = 25$. Maintenant, renversez la question : quel nombre multiplié par lui-même donne 25 ? La réponse est toujours 5 — et poser la question à l'envers est exactement ce que fait une racine carrée. Les carrés et les cubes vous ont appris à élever un nombre au carré ; aujourd'hui, nous apprenons à annuler cette élévation au carré.

Le bouton d'annulation pour l'élévation au carré

Le symbole $\sqrt{25}$ se lit « la racine carrée de 25 » et demande : qui, au carré, égale 25 ?

$\sqrt{25} = 5$

La raison est courte : $5^2 = 25$. L'élévation au carré aplatit un nombre ; l'extraction de la racine carrée restaure la photo. Les deux sont des opérations inverses, tout comme l'addition et la soustraction, ou la multiplication et la division.

La liste des carrés parfaits

Les nombres qui donnent un résultat parfaitement net sont appelés carrés parfaits. Mémorisez les carrés de 1 à 15, et extraire une racine devient « repérer un ami sur la liste » :

$1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ 49,\ 64,\ 81,\ 100,\ 121,\ 144,\ 169,\ 196,\ 225$

Par exemple, $\sqrt{144} = 12$, car 12 est juste là sur la liste.

Comprimer ceux qui sont entre les deux

Et si le nombre n'est pas sur la liste ? Prenons $\sqrt{50}$ et comprimons-le avec la multiplication :

$7^2 = 49 < 50 < 64 = 8^2$

Donc $\sqrt{50}$ est coincé entre 7 et 8, et très proche de 7 (50 n'est qu'à un cheveu au-dessus de 49) — estimez-le à environ $7,07$. Pas besoin de calculatrice : la liste plus la compression le cernent à deux décimales près.

Comment utiliser

8 × 12 = ?

0·0

La multiplication est le moteur caché des racines. Entraînez-vous sur les produits jusqu'à 15 jusqu'à ce qu'ils deviennent automatiques, et 50 vous rappellera instantanément que $7 \times 7 = 49$ — vos estimations deviennent beaucoup plus rapides.

Les nombres irrationnels montent sur scène

La compression ne peut pas toujours terminer le travail : $\sqrt{2} \approx 1,414\ldots$ continue indéfiniment, et ce n'est aucune fraction. La légende raconte que les Pythagoriciens de la Grèce antique ont été choqués de découvrir cela — de tels nombres sont appelés irrationnels : parfaitement réels, mais refusant d'être écrits comme une fraction.

Les racines cubiques et les calculatrices

La même histoire a une version avec des cubes : $\sqrt[3]{27} = 3$ car $3^3 = 27$, et $\sqrt[3]{64} = 4$ car $4^3 = 64$. Pour quelque chose de plus sophistiqué, confiez le travail à une calculatrice — mais estimez d'abord une plage approximative et vous verrez immédiatement si la machine a fait une erreur. La machine fournit les chiffres ; vous fournissez la vérification de bon sens.

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Quiz rapide

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0 / 3 correct0 / 3 correct

1. 1. Que vaut √81 ?

   940,58

2. 2. √50 se situe entre quels deux nombres entiers ?

   6 et 77 et 88 et 9

3. 3. Que vaut ∛64 ?

   48environ 21,3