Les fonctions et leurs graphiques

Dans les variables et la machine à fonctions, nous avons rencontré une machine mystérieuse : on y glisse un nombre, et elle rend un autre nombre selon une règle cachée. Il est temps de donner à cette machine son vrai nom — une fonction — et d'aller un peu plus loin : placer ses entrées et ses sorties sur du papier quadrillé, et le tempérament de la machine apparaît sous forme de courbe.

Une machine avec entrée et sortie

Une fonction est exactement ce type de machine :

• Entrée (notée $x$) : exactement un nombre entre ;
• Règle : fixée une fois pour toutes, par exemple « double-le, puis ajoute 1 » ;
• Sortie : ce que la règle produit.

Une fois la règle fixée, chaque entrée a exactement une sortie — une même entrée ne peut jamais produire deux réponses. C'est la loi de fer des fonctions.

f(x) : nommer la règle

« Double-le, puis ajoute 1 » s'écrit $f(x) = 2x + 1$ — on lit « f de x », ce qui signifie : matière première $x$, transformée par la règle $f$. Demander $f(3)$ revient à demander « que sort-il si nous entrons 3 ? » — $f(3) = 2 \times 3 + 1 = 7$. De même, $f(10) = 21$ et $f(0) = 1$.

Du tableau au graphique

Construisons un tableau entrée-sortie pour $y = x^2$ :

$x$	−2	−1	0	1	2
$y$	4	1	0	1	4

Placez chaque couple $(x, y)$ comme un point, reliez-les par une courbe lisse, et une parabole en forme de U apparaît. Des règles différentes donnent des formes différentes : des règles comme $y = 2x + 1$ tracent des droites, des règles comme $y = x^2$ se courbent en paraboles, et des règles plus compliquées produisent des courbes qui montent et descendent.

Lire un graphique

Le graphique est la fiche de personnalité de la machine :

• Croissance et décroissance : en lisant de gauche à droite, une courbe qui monte signifie « entrée plus grande, sortie plus grande » ; une courbe qui descend signifie l'inverse ;
• Intersections avec les axes : l'endroit où la courbe coupe l'axe des $y$ (la sortie quand $x = 0$), et l'endroit où elle touche l'axe des $x$ (l'entrée dont la sortie vaut exactement 0) ;
• Domaine et image, en une phrase : le domaine est l'ensemble des entrées que la machine accepte, l'image est l'ensemble des sorties qu'elle peut produire.

Comment utiliser

Pente m1Ordonnée à l’origine b2

y = x + 2

intersection avec l’axe y

(0, 2)

intersection avec l’axe x

(-2, 0)

Faites glisser $m$ et $b$ : $m$ contrôle la pente, $b$ le point de départ. La droite $y = 2x + 1$ correspond à $m = 2$, $b = 1$, et coupe l'axe des $y$ exactement en 1. Toutes les autres astuces sur les droites vous attendent dans les équations de droites.

Vérifie tes connaissances

Quiz rapide

Réessayer

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. 1. Si f(x)=2x+1, combien vaut f(3) ?

   679

2. 2. Si y=x², combien vaut y lorsque x=−3 ?

   −996

3. 3. Où la droite y=2x+1 coupe-t-elle l'axe des y ?

   (0,1)(1,0)(0,2)