Exposants

$2 \times 2 \times 2 \times 2$ est long à écrire, alors les mathématiciens l'abrègent en $2^4$ . Ne sous-estime pas ce raccourci : la multiplication compresse une addition répétée, et les exposants compressent une multiplication répétée. Imagine que tu plies une feuille de papier : 2 épaisseurs après un pli, 4 après deux... dix plis donnent $2^{10} = 1024$ épaisseurs.

Base et exposant : raccourci pour une multiplication répétée

$a^n$ se lit « a puissance n » : $a$ est la base, $n$ est l'exposant, et cela signifie n copies de a multipliées ensemble.

$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$
$10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000$

Attention : $2^4 \neq 2 \times 4$ . L'exposant dit « multiplie autant de fois », pas « multiplie par ce nombre ».

Le signe moins est-il dans les parenthèses ?

$(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4$ : le signe est à l'intérieur, donc il est mis au carré lui aussi. $-2^2 = -(2^2) = -4$ : le signe reste à l'extérieur, donc tu élèves d'abord au carré puis tu prends l'opposé. Une paire de parenthèses, un signe qui change : c'est la même histoire que remplacer $x = -2$ dans $x^2$ (voir Substitution).

Trois règles sur les exposants

Quand des puissances de même base se rencontrent, les exposants suivent des règles claires :

Opération	Règle	Vérification numérique
Multiplication de même base	$a^m \times a^n = a^{m+n}$	$2^2 \times 2^3 = 4 \times 8 = 32 = 2^5$ ✓
Division de même base	$a^m \div a^n = a^{m-n}$	$2^5 \div 2^2 = 32 \div 4 = 8 = 2^3$ ✓
Puissance d'une puissance	$(a^m)^n = a^{mn}$	$(3^2)^2 = 9^2 = 81 = 3^4$ ✓

La raison est facile à voir : $2^2 \times 2^3$ , c'est deux 2 multipliés par trois autres 2, soit cinq 2 au total ; les exposants s'additionnent donc.

Vérifie une règle toi-même

Calcule $(10^2)^3$ honnêtement : $10^2 = 100$ , puis $100 \times 100 \times 100 = 1000000$ . Avec la règle : multiplie les exposants, $2 \times 3 = 6$ , ce qui donne $10^6 = 1000000$ . Deux chemins, une seule réponse.

Pourquoi la puissance zéro vaut 1

$a^0 = 1$ n'est pas un décret arbitraire : observe la régularité :

$2^4 = 16, \quad 2^3 = 8, \quad 2^2 = 4, \quad 2^1 = 2$

Chaque pas vers la droite diminue l'exposant de 1 et divise la valeur par 2. Suis le rythme jusqu'au bout : $2^0 = 2 \div 2 = 1$ . Le même raisonnement fonctionne pour toute base, tant que $a \neq 0$ : $a^0 = 1$ .

Carrés, cubes et nombres trop grands pour être écrits

Deux noms à connaître : $a^2$ se lit « a au carré », parce que l'aire d'un carré est la longueur du côté au carré ; $a^3$ se lit « a au cube », parce que le volume d'un cube est la longueur de l'arête au cube. Les puissances plus élevées se lisent simplement « a puissance n ».

Les exposants brillent vraiment avec les grands nombres. La valeur de position a montré comment les puissances de dix placent chaque chiffre ; la notation scientifique va encore plus loin, en comprimant n'importe quel grand nombre sous la forme « un nombre multiplié par une puissance de dix ».

À quelle vitesse va la lumière ?

La lumière parcourt environ 300000000 mètres par seconde : un 3 suivi de huit zéros. En notation scientifique, cela s'écrit $3 \times 10^8$ m/s : déplace la virgule décimale de huit rangs vers la droite et le nombre d'origine revient. C'est beaucoup plus facile à écrire — et à lire — qu'une suite de zéros.

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Quiz rapide

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2. Que vaut 5⁰ ?
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