Facteurs et multiples

Avec des briques de construction, vous vous posez deux questions : quelles petites pièces composent ce bloc, et quelles formes plus grandes peut-il construire ? Les nombres entiers sont pareils : chaque nombre a une équipe de facteurs et fait partie d'une famille infinie de multiples.

Facteurs : les partenaires qui divisent exactement

Si $a \times b = 12$ , alors $a$ et $b$ sont tous deux des facteurs de 12. Énumérez toutes les multiplications qui donnent 12 :

$12 = 1 \times 12 = 2 \times 6 = 3 \times 4$

Ainsi, les facteurs de 12 sont $1, 2, 3, 4, 6, 12$ — six en tout. Les facteurs vont par paires : trouver 2 vous donne 6 gratuitement, et trouver 3 vous donne 4. Pour lister tous les facteurs d'un nombre, testez la division à partir de 1 et notez les deux membres de chaque paire.

Multiples : les nombres de la table de multiplication

Les multiples de 12 sont sa table de multiplication : $12, 24, 36, 48, \ldots$ — la liste ne se termine jamais.

Attention à la direction

Les facteurs vont vers le bas, les multiples montent : le plus grand facteur de 12 est 12 lui-même, et il y en a un nombre fini ; le plus petit multiple de 12 est 12 lui-même, et ils continuent indéfiniment. Chaque nombre est à la fois un facteur et un multiple de lui-même.

La multiplication construit les multiples ; la division teste les facteurs — ces deux idées forment une même relation inverse vue sous deux angles.

Facteurs partagés, multiples partagés

Les ensembles de facteurs et les listes de multiples de deux nombres se recouvrent, et c'est dans ce recouvrement que se trouvent les acteurs utiles :

Facteurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12 ; facteurs de 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18. Partagés : 1, 2, 3, 6 — le plus grand, 6, est le plus grand facteur commun. Pour diviser deux classes de 12 et 18 élèves en équipes de taille égale, la taille de l'équipe doit être un facteur commun de 12 et 18 ;
Multiples de 4 : 4, 8, 12, 16, … ; multiples de 6 : 6, 12, 18, …. Le premier qui apparaît ensemble est 12, le plus petit multiple commun. Si un événement se répète tous les 4 jours et un autre tous les 6, ils coïncident à nouveau 12 jours plus tard.

Des noms longs ?

Le plus grand facteur commun est souvent abrégé en PGFC (ou PGCD), et le plus petit multiple commun en PPCM. Mêmes idées, étiquettes plus courtes.

Astuces de divisibilité

Pas besoin de diviser — les chiffres suffisent :

2 : le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8 ;
5 : le dernier chiffre est 0 ou 5 ;
10 : le dernier chiffre est 0 ;
3 : la somme des chiffres est un multiple de 3. Pour 234 : $2+3+4=9$ , donc 234 est divisible par 3 ;
9 : la somme des chiffres est un multiple de 9. Pour 738 : $7+3+8=18$ , et puisque 18 est un multiple de 9, 738 l'est aussi.

Un nombre avec exactement deux facteurs, 1 et lui-même, est premier — la pièce indivisible dans le monde des facteurs. Pointez le vérificateur ci-dessous sur n'importe quel nombre de votre choix :

InteractifVérificateur de facteurs

Comment utiliser

60 n’est pas premier

Décomposition en facteurs premiers：60 = 2² × 3 × 5

Nombres premiers jusqu’à 60

235711131719232931374143475359…

Vérifiez vos connaissances

Quiz rapide

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. Quelle liste est exactement l'ensemble complet des facteurs de 12 ?
2. Le plus grand facteur commun de 12 et 18 est…
3. Le plus petit multiple commun de 4 et 6 est…