Nombres positifs et négatifs

Le bulletin météo annonce "moins trois degrés". Le panneau de l'ascenseur affiche B2. Un jeu affiche votre solde comme −500. Ce sont des nombres plus petits que zéro : les nombres négatifs.

Les nombres marchaient autrefois dans une seule direction. Avec les négatifs, la droite numérique que la valeur de position a construite peut enfin s'étendre à gauche de zéro — et les quantités qui vont dans la direction opposée, comme la température, les étages et la dette, ont enfin de l'espace pour se placer.

Les nombres négatifs dans la vie quotidienne

Les nombres négatifs enregistrent des quantités allant dans la direction opposée :

Température : 5 au-dessus de zéro est $5$ ; 3 en dessous de zéro est $-3$ ;
Étages : 3 étages au-dessus est l'étage 3 ; 2 étages en dessous est $-2$ ;
Argent : déposer 100 et c'est $+100$ ; devoir 100 et c'est $-100$ .

Le signe est un indicateur de direction : convenez d'abord de quelle direction est considérée comme positive, et l'autre direction reçoit un moins.

La droite numérique s'étend vers la gauche

Étendez la ligne à gauche de 0 et voici $-1, -2, -3, \ldots$ Chaque nombre positif a un opposé : $3$ et $-3$ sont à la même distance de 0, un de chaque côté.

Cette distance à 0 est appelée valeur absolue : $|-3| = 3$ et $|3| = 3$ . La valeur absolue répond à "à quelle distance" ; le signe répond à "dans quelle direction".

Comparer : plus loin de zéro est plus petit

Sur la ligne, la droite bat la gauche. En territoire négatif, l'intuition s'inverse : $-3$ se trouve à la droite de $-8$ , donc $-3 > -8$ .

Piège courant

Puisque 8 bat 3, vous griffonnez $-8 > -3$ ? Faux. Comparez les négatifs par la valeur absolue : plus la valeur absolue est grande, plus le nombre est petit, et le négatif le plus proche de 0 est le plus grand. Trois degrés en dessous de zéro est plus chaud que huit en dessous — même idée.

Additionner : marcher le long de la ligne

Ajouter un positif déplace vers la droite ; ajouter un négatif déplace vers la gauche.

Exemple : 5 + (−8)

Commencez à 5 et marchez 8 pas vers la gauche : 5 pas atteignent 0, puis 3 de plus atterrissent sur $-3$ . Donc $5 + (-8) = -3$ . La soustraction dessine la même image : $2 - 5 = 2 + (-5) = -3$ — soustraire un nombre équivaut à ajouter son opposé (une autre façon de voir la soustraction).

Exemple : −6 + 4

Commencez à $-6$ et marchez 4 pas vers la droite : $-6 \to -5 \to -4 \to -3 \to -2$ . Lorsque les signes diffèrent, soustrayez la plus petite valeur absolue de la plus grande et gardez le signe du plus grand : $|-6| = 6 > 4 = |4|$ , donc la réponse est négative.

Multiplier : moins fois moins

Les règles de signes sont simples :

positif × positif = positif : $3 \times 2 = 6$
positif × négatif = négatif : $3 \times (-2) = -6$
négatif × positif = négatif : $(-3) \times 2 = -6$
négatif × négatif = positif : $(-3) \times (-2) = 6$

"Moins fois moins" n'est pas une règle arbitraire — observez le motif : $3 \times 3 = 9$ , $3 \times 2 = 6$ , $3 \times 1 = 3$ , $3 \times 0 = 0$ ; à chaque fois que le multiplicateur diminue de 1, le produit diminue de 3. Continuez : $3 \times (-1) = -3$ , $3 \times (-2) = -6$ . Maintenant une nouvelle ligne : $(-3) \times 3 = -9$ , $(-3) \times 2 = -6$ , $(-3) \times 1 = -3$ , $(-3) \times 0 = 0$ — ici, à chaque étape, le produit augmente de 3, donc $(-3) \times (-1) = 3$ et $(-3) \times (-2) = 6$ . Le motif tient tout au long : moins fois moins est positif.

Vérifiez-vous

Quiz rapide

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. Lequel est plus grand, −3 ou −8 ?
2. −2 + (−5) = ?
3. (−4) × (−5) = ?