Nombres premiers

Essayez de disposer 12 bonbons en rectangle : 3×4 fonctionne, 2×6 aussi. Et 7 bonbons ? Seulement une rangée solitaire — rien ne divise 7 exactement.

Les nombres comme cela sont appelés premiers. Ce sont les atomes du monde des nombres entiers : tout autre nombre est construit en multipliant des nombres premiers.

Exactement deux facteurs

Un facteur d'un nombre est un nombre qui le divise exactement. Le nombre 12 a six facteurs : 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Mais 7 n'a que 1 et 7 — exactement deux, et c'est la définition :

• Nombres premiers (exactement 2 facteurs) : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…
• Nombres composés (3 facteurs ou plus) : 4, 6, 8, 9, 10, 12…

Les facteurs viennent toujours par paires : $12 = 1 \times 12 = 2 \times 6 = 3 \times 4$. Arrêtez d'associer une fois que vous atteignez le milieu — c'est exactement pourquoi la vérification de primalité peut s'arrêter tôt, comme vous le verrez ci-dessous.

Tapez un nombre et voyez s'il survit au test :

Comment utiliser

60 n’est pas premier

Décomposition en facteurs premiers：60 = 2² × 3 × 5

Nombres premiers jusqu’à 60

235711131719232931374143475359…

Pourquoi 1 ne compte pas

Le nombre 1 n'a qu'un seul facteur : lui-même. Un nombre premier a besoin d'exactement deux, donc 1 n'est ni premier ni composé. Ce n'est pas du pédantisme — c'est ce qui rend les factorisations en nombres premiers uniques. Si 1 comptait, alors 12 pourrait s'écrire comme 2×2×3, ou 1×2×2×3, ou 1×1×2×2×3… indéfiniment.

Un fait bonus : 2 est le seul nombre premier pair. Tout autre nombre pair a au moins trois facteurs — 1, 2 et lui-même.

Décomposer les nombres jusqu'au bout

Écrire un nombre comme produit de nombres premiers s'appelle la factorisation en nombres premiers. Continuez à diviser jusqu'à ce qu'il ne reste que des nombres premiers :

$60 = 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 15 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$

Commencez par 6×10 ou par 2×30 — cela ne fait aucune différence. Vous arrivez à $2 \times 2 \times 3 \times 5$ dans les deux cas : différents chemins, même destination. C'est l'avantage d'exclure 1 : la factorisation est unique. Un nombre composé est une construction LEGO finie ; les nombres premiers sont les briques de base dans le bac.

Les nombres premiers ne s'épuisent jamais

Il y a plus de deux mille ans, Euclide a prouvé qu'il existe une infinité de nombres premiers, avec un argument aussi astucieux qu'un tour de magie : multipliez tous les nombres premiers que vous connaissez et ajoutez 1, par exemple $2 \times 3 \times 5 \times 7 + 1 = 211$. Ce nouveau nombre n'est divisible par aucun nombre premier de votre liste — donc soit il est lui-même premier, soit il a un tout nouveau facteur premier. Dans les deux cas, les nombres premiers continuent.

Aujourd'hui, les nombres premiers protègent votre argent : la sécurité des paiements en ligne repose sur le fait que multiplier deux grands nombres premiers est facile, mais décomposer le produit en ses deux nombres premiers est extrêmement difficile.

Les nombres premiers ont aussi un charme particulier : ils apparaissent sans aucune régularité. 11 et 13 sont côte à côte (de telles paires sont appelées nombres premiers jumeaux), mais à partir de 23, le prochain nombre premier est à 5 nombres de distance, à savoir 29, et à partir de 89, il faut un écart de 7 pour atteindre 97. Ils semblent dispersés au hasard — pourtant chacun est strictement défini.

Vérifiez-vous

Quiz rapide

Réessayer

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. 1. Lequel de ces nombres est premier ?

   212933

2. 2. Pourquoi 1 n'est-il pas premier ?

   Il est trop petitIl n'a qu'un seul facteurIl est impair

3. 3. Quelle est la factorisation en nombres premiers de 60 ?

   2×306×102×2×3×5