Géométrie
Introduction à la trigonométrie
Un angle aigu fixe les rapports des trois côtés — sinus, cosinus et tangente transforment les angles en côtés, et les côtés en angles.
Les triangles rectangles cachent un fait remarquable : fixez un angle aigu, et les rapports entre les trois côtés sont également fixés. Le triangle peut grandir ou rétrécir, mais les rapports ne bougent jamais. Là où le théorème de Pythagore gère les relations entre les trois côtés, la trigonométrie gère la relation entre les côtés et les angles — elle transforme un angle en un nombre avec lequel vous pouvez calculer.
Nommer les trois côtés d'abord
Choisissez un angle aigu. Par rapport à lui, les trois côtés gagnent leurs noms :
- L'hypoténuse : le côté faisant face à l'angle droit, toujours le plus long ;
- Le côté opposé : celui qui fait directement face à l'angle choisi ;
- Le côté adjacent : celui qui touche l'angle choisi sans être l'hypoténuse.
Les noms suivent l'angle
L'hypoténuse ne change jamais, mais opposé et adjacent échangent leurs rôles : regardez l'autre angle aigu, et l'opposé d'hier devient l'adjacent d'aujourd'hui. Avant de dire "opposé", précisez de quel angle vous parlez.
Comment utiliser
3² + 4² = 9 + 16 = 25 = c²
Hypoténuse c c = √25 ≈ 5.00整数勾股数 · Pythagorean triple!
Faites glisser les deux côtés et observez l'hypoténuse et les carrés changer. Gardez un œil sur ceci : des triangles rectangles semblables peuvent changer toutes leurs longueurs, mais les rapports entre les côtés restent fixes — c'est ce qui rend une table de valeurs trigonométriques possible.
Trois rapports : sin, cos, tan
Par rapport à l'angle choisi, définissez trois rapports :
- sinus, sin = opposé ÷ hypoténuse ;
- cosinus, cos = adjacent ÷ hypoténuse ;
- tangente, tan = opposé ÷ adjacent.
Le moyen mnémotechnique SOH-CAH-TOA résume les trois définitions en neuf lettres : S-O-H, C-A-H, T-O-A. Chaque rapport ne dépend que de la taille de l'angle, donc les valeurs peuvent être précalculées dans une table (les calculatrices stockent bien plus).
Valeurs pour trois angles spéciaux
| Angle | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 30° | 0,500 | 0,866 | 0,577 |
| 45° | 0,707 | 0,707 | 1,000 |
| 60° | 0,866 | 0,500 | 1,732 |
Deux choses se cachent dans le tableau : à 45°, sin égale cos — les deux côtés de ce triangle ont la même longueur ; et le sin de 30° correspond au cos de 60° — le même triangle, vu depuis l'autre coin.
De l'angle au côté, du côté à l'angle
Angle connu, côté recherché. Hypoténuse 10, un angle aigu de 30° — combien mesure le côté opposé à l'angle de 30° ?
Opposé = hypoténuse × sin 30° = .
Dans le même triangle, le côté opposé à l'angle de 60° mesure .
Côté connu, angle recherché. Mesurez un triangle rectangle dont le côté opposé est 5 et l'hypoténuse 10 : le rapport est . Cherchez-le dans la table (ou appuyez sur la touche de la calculatrice), et l'angle se lit 30°. Les côtés viennent de la multiplication ; les angles viennent de la recherche inverse — une seule calculatrice couvre les deux cas.
Réglez la calculatrice en degrés
Avant tout calcul trigonométrique sur une calculatrice, vérifiez que le mode affiche DEG (degrés), pas RAD (radians). Le même "30" donne des réponses complètement différentes dans les deux modes — quand les résultats semblent faux, vérifiez le mode d'abord.
Vérifiez vos connaissances
Quiz rapide
1. sin est le rapport de quels deux côtés ?
2. Hypoténuse 10, un angle aigu de 30°. Quelle est la longueur du côté opposé à 30° ?
3. Quel côté d'un triangle rectangle est le plus long ?