Écart type

Deux étudiants obtiennent une moyenne de 70 sur cinq interrogations. Sont-ils aussi bons l'un que l'autre ? L'étudiant A a obtenu 68, 69, 70, 71, 72 ; l'étudiant B a obtenu 50, 60, 70, 80, 90. Moyennes identiques, tempéraments très différents : A est régulier, B fait des montagnes russes. Décrire cette différence nécessite plus que la moyenne, la médiane et le mode — ceux-ci rendent compte du centre, pas de la dispersion. Rencontrez le deuxième œil : l'écart type.

Même moyenne, tempérament différent

Soustrayez la moyenne de chaque valeur ; chaque différence est un écart. Les écarts de A sont −2, −1, 0, +1, +2, tandis que ceux de B sont −20, −10, 0, +10, +20 — même centre, dix fois l'amplitude. Malheureusement, les écarts s'annulent toujours : les positifs annulent les négatifs, et leur moyenne gaspille tout le calcul (pour A : $-2 - 1 + 0 + 1 + 2 = 0$). Pour laisser survivre l'écart, élevez-le d'abord au carré — le signe disparaît, la taille reste.

Élevez au carré, puis faites la moyenne, puis prenez la racine

La recette comporte trois étapes :

1. Élevez chaque écart au carré ;
2. Faites-en la moyenne pour obtenir la variance ;
3. Prenez la racine carrée pour revenir à l'écart type.

Appliquez-la aux deux étudiants :

• A : carrés 4, 1, 0, 1, 4, somme 10 ; variance $= 10 \div 5 = 2$ ; écart type $= \sqrt{2} \approx 1,4$ ;
• B : carrés 400, 100, 0, 100, 400, somme 1000 ; variance $= 1000 \div 5 = 200$ ; écart type $= \sqrt{200} \approx 14,1$.

La racine carrée finale rétablit les unités : les scores sont mesurés en points, et l'élévation au carré a aussi élevé les unités au carré, donc la racine les ramène en points. Intuition en une phrase : l'écart type est la distance typique par rapport à la moyenne. Les scores de A s'écartent d'environ un point ; ceux de B s'écartent d'une douzaine.

Un calcul complet

Comment utiliser

+Effacer4865389

Nombre

7

Moyenne

6.14

Médiane

6

Mode

8

Ajoutez quelques valeurs, retirez-en quelques-unes, et observez à quel point le diagramme de points s'ouvre : des points serrés signifient un petit écart type, des points éparpillés signifient un grand. Le composant calcule la moyenne, la médiane et le mode — juger « à quel point c'est dispersé » avec vos propres yeux est exactement ce que l'écart type formalise.

Population, échantillon et cloche

Deux remarques rapides. Premièrement, les calculatrices offrent à la fois $\sigma$ et $s$ : utilisez $\sigma$ (en divisant par $n$) lorsque vos données constituent la population entière, et $s$ (en divisant par $n-1$) lorsqu'il ne s'agit que d'un échantillon prélevé dans celle-ci — les échantillons se regroupent artificiellement de manière plus serrée, et le diviseur ajusté compense ce phénomène. Les détails viendront plus tard ; pour l'instant, choisissez la bonne touche. Deuxièmement, des données comme les tailles ou les scores de tests s'accumulent souvent en forme de cloche : la plupart des valeurs se pressent près de la moyenne, puis s'amincissent vers les bords. Plus l'écart type est grand, plus la cloche est basse et large ; plus il est petit, plus elle est haute et étroite. Pour des données en forme de cloche, environ soixante-dix pour cent se situent à moins d'un écart type de la moyenne, et presque tout à moins de deux. Ainsi, « taille moyenne 170, écart type 6 » permet déjà de visualiser toute la foule. Vous pouvez voir les formes de distribution avec vos propres yeux dans Histogrammes ; l'Étendue mesure la dispersion en utilisant uniquement les deux extrêmes ; et Mésusage des moyennes montre comment une valeur extrême entraîne une moyenne hors du droit chemin.

Vérifiez vos connaissances

Quiz rapide

Réessayer

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. 1. Un petit écart type signifie que les données ?

   se regroupent près de la moyenneont une grande moyenneont peu de valeurs

2. 2. Quel est l'écart type de [2, 6] ?

   248

3. 3. Un ensemble de données a une variance de 200. Son écart type est d'environ ?

   14,120020