Valeur attendue

Un stand équitable lance un dé : obtenez un 6 et gagnez 6 yuans, tout autre résultat ne gagne rien. Une partie "pourrait" vous rapporter 6 yuans — mais que se passe-t-il si vous jouez tout l'après-midi ? Combien vaut chaque tour en moyenne ? Cette question a une réponse exacte, appelée la valeur attendue.

Les probabilités comme poids

Pour un dé équitable, la valeur attendue du lancer est $(1+2+3+4+5+6) \div 6 = 3,5$ . La recette standard multiplie chaque résultat par sa probabilité et additionne le tout :

$1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + \cdots + 6 \times \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3,5$

Les résultats probables ont plus de poids — la même idée que les moyennes pondérées de moyenne arithmétique, médiane et mode, avec les probabilités comme poids. Remarquez : aucune face du dé ne montre 3,5. Ce n'est pas le résultat d'un lancer unique mais la valeur vers laquelle la moyenne à long terme se stabilise.

InteractifLaboratoire de lancer de pièce

Comment utiliser

🪙

—

Taux de faces

Plus tu lances, plus le taux de faces se rapproche de 50% — c’est la loi des grands nombres.

Utilisez-le sur le pari le plus simple : pile gagne 1 yuan, face perd 1 yuan. L'espérance est $1 \times \frac{1}{2} + (-1) \times \frac{1}{2} = 0$ — un jeu équitable. Lancez 10 fois et le ratio de piles peut varier énormément ; lancez 1000 fois et il se rapproche de 50 %. L'espérance n'est pas une promesse pour un tour — c'est la moyenne à long terme que la loi des grands nombres fournit.

Calculer l'espérance d'une loterie

La tombola en vaut-elle la peine

Une tombola vend 100 billets : 1 gagne 100 yuans, 4 gagnent 25 yuans chacun, et les 95 autres ne gagnent rien. Un billet coûte 3 yuans. Le prix attendu par billet est

$100 \times \frac{1}{100} + 25 \times \frac{4}{100} + 0 \times \frac{95}{100} = 1 + 1 + 0 = 2$

Payez 3, récupérez 2 en moyenne — le prix attendu est de 2 yuans, donc l'espérance nette est $2 - 3 = -1$ yuan : chaque billet vous coûte 1 yuan en moyenne.

L'espérance n'est pas un résultat unique

Achetez un billet et vous ne tiendrez jamais "2 yuans" : vous obtenez 100, ou 25, ou 0. L'espérance est un niveau moyen pondéré, pas une garantie pour un tirage — un résultat unique peut être très loin de celle-ci. Mais à mesure que le nombre augmente, la moyenne se rapproche de plus en plus de l'espérance : dans l'expérience de la pièce, après 1000 lancers, le ratio de piles a cessé de s'éloigner de 50 %. Un pari repose sur la chance ; dix mille paris reposent sur l'espérance.

Pourquoi la maison gagne toujours

Dans un casino, l'espérance de chaque jeu est négative pour le joueur. Prenons la roulette : la roue européenne a 37 cases — 18 rouges, 18 noires, 1 zéro. Misez 1 yuan sur le rouge : probabilité de gagner $\frac{18}{37}$ , probabilité de perdre $\frac{19}{37}$ , donc l'espérance est

$1 \times \frac{18}{37} + (-1) \times \frac{19}{37} = -\frac{1}{37} \approx -0,027$

Perdre moins de 3 centimes par yuan misé semble inoffensif ? Des millions de joueurs placent des milliards de paris, et environ 2,7 centimes quittent chaque yuan — la maison dort paisiblement. Le −1 yuan de la tombola et le −0,027 yuan de la roue partagent une morale : quand l'espérance est négative, plus vous jouez longtemps, plus vous perdez ponctuellement. Pour continuer à explorer les probabilités, visitez probabilité ; les événements combinés attendent dans probabilité composée.

Vérifiez-vous

Quiz rapide

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. Un lancer d'un dé équitable : quelle est la valeur attendue du nombre affiché ?
2. 10 pailles cachent un prix de 9 yuans, les autres sont vides. Vous en tirez une gratuitement — quel est le prix attendu ?
3. Un jeu a une espérance de −0,5 yuan par partie. Après environ 1000 parties, vous aurez...