Probabilités composées et diagrammes en arbre

Dans l'introduction aux probabilités, vous avez appris les chances en une étape : une pièce tombe sur pile avec une probabilité de $\frac{1}{2}$ . Mais la vie se déroule souvent en deux étapes successives — lancer deux pièces, tirer deux cartes, lancer un dé puis une pièce. Comment fonctionnent les probabilités en deux étapes ? La réponse commence par dessiner un arbre.

Le diagramme en arbre : dessiner les embranchements

Lancez deux pièces. Chaque pièce est un embranchement sur le chemin. Dessinez-le :

Première pièce pile
- Deuxième pièce pile → pile-pile
- Deuxième pièce face → pile-face
Première pièce face
- Deuxième pièce pile → face-pile
- Deuxième pièce face → face-face

Il y a $2 \times 2 = 4$ chemins complets de la racine à la pointe. Chaque chemin passe par deux choix de $\frac{1}{2}$ , donc chaque chemin a une probabilité de

$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Quatre chemins équiprobables, un quart chacun — une fois l'arbre dessiné, les réponses sont déjà posées sur le papier.

Multiplier le long des branches, additionner entre les branches

Deux slogans se cachent derrière l'arbre :

« Et » signifie multiplier : lorsque le résultat recherché doit franchir plusieurs portes à la suite, multipliez les probabilités des portes. Deux pile ? $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ ;
« Ou » signifie additionner : lorsque plusieurs chemins disjoints comptent tous, additionnez leurs probabilités. « Au moins un pile » couvre pile-pile, pile-face et face-pile : $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ .

« Au moins un » est plus grand que l'intuition

Beaucoup de gens devinent « un demi » pour « au moins un pile », parce que cela ressemble à un événement unique. Dans l'arbre, cela occupe trois chemins — seule face-face échoue. Compter un par un les chemins disjoints est le plus grand service que rend le diagramme en arbre.

Dé et pièce

Lancez un dé et une pièce ; cherchez « un six et pile ». Les deux étapes ne se dérangent pas mutuellement (événements indépendants), donc multipliez le long de la branche : $P = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$ . Et « un six ou pile » ? $\frac{1}{6} + \frac{1}{2} - \frac{1}{12} = \frac{7}{12}$ — le chemin qui satisfait les deux, $\frac{1}{12}$ , ne peut être ajouté qu'une seule fois.

Avec remise ou sans remise

Un sac contient 3 billes, 2 rouges et 1 bleue ; tirez deux fois. Si chaque bille est remise dedans, la deuxième porte garde sa probabilité : deux rouges donne $\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$ . Sans remise, après avoir tiré une rouge, le sac contient 1 rouge et 1 bleue, donc la deuxième porte change : deux rouges donne $\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$ . L'arbre fonctionne toujours — la deuxième couche de branches porte simplement de nouvelles probabilités. Avant de dessiner un arbre, demandez-vous toujours : avec remise ou sans remise ?

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Comment utiliser

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Taux de faces

Plus tu lances, plus le taux de faces se rapproche de 50% — c’est la loi des grands nombres.

Multiplier le long des branches n'est valable que si les deux étapes n'interfèrent pas. Lancez 100 fois, puis 1000 fois, et observez : la proportion de pile se resserre étroitement autour de $\frac{1}{2}$ — chaque lancer repart de zéro, sans toucher à rien d'autre. C'est ce que signifie « indépendant ».

Vérifiez vos acquis

Quiz rapide

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. Deux pièces sont lancées. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement un pile et un face ?
2. Un dé est lancé et une pièce est lancée. Quelle est la probabilité d'obtenir « un six et pile » ?
3. Un sac contient 2 billes rouges et 1 bille bleue. Sans remise, quelle est la probabilité que les deux tirages soient rouges ?