Vecteurs

« Marcher 3 kilomètres vers l’avant » laisse quelque chose de côté — dans quelle direction ? 3 km à l’est et 3 km au nord mènent loin l’un de l’autre. Une quantité qui porte à la fois une norme et une direction, comme le déplacement, est un vecteur ; une quantité qui n’a qu’une valeur est un scalaire, comme 3 kg ou 20 dollars. La vitesse ne donne que la valeur — un scalaire ; ajoute une direction et elle devient la vitesse vectorielle, un vecteur.

Composantes : découper la flèche en deux étapes

Dans le plan de coordonnées, un vecteur peut s’écrire comme une paire $(3, 4)$ : 3 vers l’est d’abord, puis 4 vers le nord. Cette paire s’appelle les composantes — un vol incliné unique découpé en « une marche horizontale + une marche verticale ».

Comment utiliser

x3y-2

(3, -2) → Quadrant IV

Avance de x pas horizontalement, puis de y pas verticalement — le couple ordonné (x, y) détermine exactement un point.

Fais glisser les curseurs et suis le chemin en pointillés, d’abord horizontal puis vertical : de l’origine à $(3, -2)$ signifie « 3 à droite, −2 vers le haut (c’est-à-dire 2 vers le bas) ». Un vecteur qui part de l’origine est un vecteur position — les coordonnées elles-mêmes sont ses composantes.

Addition : bout à bout

3 à l’est et 4 au nord, puis encore 1 à l’est et 2 au nord — où es-tu maintenant ? L’addition de vecteurs additionne simplement les composantes séparément :

$(3, 4) + (1, 2) = (4, 6)$

Géométriquement, c’est bout à bout : la queue de la deuxième flèche rejoint la tête de la première, et la flèche du tout début jusqu’à la toute fin est la somme. L’ordre n’a pas d’importance — aller à l’est puis au nord arrive exactement là où aller au nord puis à l’est arrive.

Multiplication par un scalaire et norme

Pour étirer un vecteur au double de sa longueur, multiplie ses deux composantes par 2 :

$2 \times (-1, 5) = (-2, 10)$

Un facteur négatif le retourne : $-1 \times (3, 4) = (-3, -4)$ — même longueur, direction opposée.

Quelle est la longueur de la flèche elle-même ? Traite les composantes comme les deux côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle et fais appel au théorème de Pythagore :

$|(3, 4)| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$

3 km à l’est puis 4 km au nord font exactement 5 km à vol d’oiseau — le vieux trio 3-4-5 encore une fois. Un dernier : $|(-6, 8)| = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Le point de vue de la translation

Le trait de caractère le plus distinctif d’un vecteur : ce qui compte, c’est jusqu’où tu as voyagé, pas d’où tu es parti. Dessiné à l’origine ou ailleurs, $(3, 4)$ est la même flèche. C’est pourquoi la translation d’une figure tient en une phrase : ajoute le même vecteur à chaque point — $(2, 3)$ glisse toute la figure de 2 vers la droite et de 3 vers le haut, sans toucher à sa forme ni à sa taille. Derrière toute figure qui glisse dans Transformations se cache cette idée.

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Quiz rapide

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0 / 3 correct0 / 3 correct

1. 1. Quelle est la norme du vecteur (3, 4) ?

   5712

2. 2. Que vaut (2, -1) + (1, 3) ?

   (3, 2)(3, 4)(2, 2)

3. 3. Réduis le vecteur (2, 5) à la moitié de sa longueur. Qu’obtiens-tu ?

   (1, 2.5)(4, 10)(2, 2.5)