Coordonnées cartésiennes

Un billet de cinéma indique « Rang 5, siège 3 » — pas besoin de demander à qui que ce soit, tu vas droit à ta place : trouve le rang 5, puis compte jusqu’au siège 3. Il y a plus de trois cents ans, le mathématicien Descartes a transporté cette astuce de repérage par siège dans les mathématiques : trace deux droites graduées perpendiculaires, et chaque point du plan possède une adresse unique.

Deux droites graduées, une carte

Chacune des deux droites a un rôle :

• L’horizontale est l’axe des x, positif vers la droite ;
• La verticale est l’axe des y, positif vers le haut ;
• Là où elles se croisent se trouve l’origine $O$, avec l’adresse $(0, 0)$.

L’adresse d’un point s’écrit sous forme de couple ordonné $(x, y)$ : l’horizontale d’abord, la verticale ensuite. $(3, 5)$ et $(5, 3)$ sont deux points différents — l’ordre fait partie de la règle, et c’est exactement ce que signifie « ordonné ».

Comment aller jusqu’à (2, 3)

Lire des coordonnées, c’est comme marcher, avec le refrain horizontal d’abord, puis vertical : pars de l’origine, fais 2 pas vers la droite le long de l’axe des x, puis 3 vers le haut — et tu arrives en $(2, 3)$. Pour lire les coordonnées d’un point, regarde avec quel nombre il s’aligne sur l’axe des x et avec lequel il s’aligne sur l’axe des y, puis annonce-les dans le même ordre.

Le code des signes des quatre quadrants

Les deux axes découpent le plan en quatre parties, numérotées dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir du haut à droite : quadrants I, II, III, IV. Pas besoin de mémoriser la carte — observe simplement les signes :

• Quadrant I $(+, +)$ : x et y sont tous deux positifs ;
• Quadrant II $(-, +)$ : x négatif, y positif — en haut à gauche ;
• Quadrant III $(-, -)$ : tous deux négatifs — en bas à gauche ;
• Quadrant IV $(+, -)$ : x positif, y négatif — en bas à droite.

Les deux axes eux-mêmes n’appartiennent à aucun quadrant — un point situé sur un axe a au moins une coordonnée égale à $0$, comme $(4, 0)$.

Tableau de coordonnées

Comment utiliser

x3y-2

(3, -2) → Quadrant IV

Avance de x pas horizontalement, puis de y pas verticalement — le couple ordonné (x, y) détermine exactement un point.

Fais glisser les curseurs x et y et observe le point parcourir le plan pendant que le panneau des signes annonce dans quel quadrant il se trouve. Donne-toi trois missions : déplace le point dans le quadrant II ; trouve un point « vivant sur l’axe des x » ; puis fais en sorte que x et y aient le même signe — et regarde dans quelles deux régions le point peut atterrir.

À quoi servent les adresses

• Cartes et navigation : la longitude et la latitude forment une paire de coordonnées — « 30° N, 120° E » épingle un endroit sur la Terre elle-même ;
• Mondes de jeux vidéo : beaucoup de jeux écrivent la position d’un personnage sous la forme $(x, y)$, et les mondes 3D ajoutent un $z$ ;
• Cinémas et salles de classe : rang et siège sont des coordonnées dans leur forme la plus simple.

Plus tard, dans Équation d’une droite, tu verras qu’une droite est simplement la belle file de tous les points $(x, y)$ qui vérifient $y = mx + b$ — et chaque $(x, y)$ là-dedans est une coordonnée comme aujourd’hui. Les entrées et sorties de Variables et machine à fonctions se placent dans la même paire de parenthèses.

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Quiz rapide

Réessayer

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. 1. Dans quel quadrant se trouve le point (-3, 4) ?

   Quadrant IIQuadrant IIIQuadrant IV

2. 2. Depuis l’origine, tu marches 4 pas vers la droite et 2 pas vers le bas. Où arrives-tu ?

   (4, -2)(-2, 4)(-4, 2)

3. 3. Un point se trouve exactement sur l’axe des x. Qu’est-ce qui est particulier dans ses coordonnées ?

   y = 0x = 0x = y