Transformations

Les figures bougent aussi : un ascenseur qui monte comme un bloc, l'image dans un miroir, un moulinet qui tourne, une photo agrandie. La géométrie appelle ces quatre actions transformations. Une transformation ne change que la position ou la taille d'une figure — la forme elle-même reste — et c'est exactement ce qui la rend utile.

Les quatre mouvements de base

• Translation : toute la figure glisse, en conservant sa direction ;
• Réflexion : la figure se retourne autour d'une ligne, comme un miroir ;
• Rotation : la figure tourne autour d'un point selon un angle ;
• Agrandissement ou réduction : la figure s'étire ou se rétrécit selon un facteur — la mise à l'échelle de similarité de congruence et similarité.

Translation et réflexion

Dans les coordonnées cartésiennes, chaque mouvement peut être écrit comme une opération arithmétique sur les coordonnées. Translation : pour déplacer le point $(2,3)$ de 3 vers la droite et de 1 vers le bas, ajoutez 3 à la coordonnée x et soustrayez 1 de la coordonnée y, pour arriver à $(5,2)$.

Réflexion : retourner autour de l'axe des x change le signe de la coordonnée y — $(2,3)$ devient $(2,-3)$ ; autour de l'axe des y, le signe de la coordonnée x change — $(2,3)$ devient $(-2,3)$. L'échange gauche-droite que vous voyez dans un miroir est une réflexion.

Rotation et agrandissement

Rotation : tourner de $180^\circ$ autour de l'origine change les deux signes, donc $(2,3)$ atterrit à $(-2,-3)$ ; une rotation de $90^\circ$ échange les deux coordonnées et change un signe. Changez le centre ou l'angle et le point d'arrivée change aussi.

Agrandissement : une mise à l'échelle d'un facteur 2 autour de l'origine multiplie chaque coordonnée par 2, envoyant $(2,3)$ à $(4,6)$. Un facteur supérieur à 1 agrandit la figure, inférieur à 1 la rétrécit — la forme ne change jamais.

Comment utiliser

x3y-2

(3, -2) → Quadrant IV

Avance de x pas horizontalement, puis de y pas verticalement — le couple ordonné (x, y) détermine exactement un point.

Placez un triangle sur le tableau, par exemple $(0,0)$, $(4,0)$, $(4,3)$ ; puis ajoutez $(2,1)$ à chaque paire de coordonnées et placez le deuxième triangle — toute la figure a été translatée vers le haut et la droite. Changer les coordonnées est la façon de diriger une figure.

La symétrie est une réflexion sur soi-même

Une figure symétrique coïncide avec elle-même après une réflexion à travers son axe — la symétrie est la propriété de « inchangé par réflexion » ; les pales d'un moulinet coïncident avec elles-mêmes après une certaine rotation, ce qui est une symétrie de rotation. Les transformations sont plus que des façons de déplacer des figures — elles sont un miroir pour voir ce qu'une figure est vraiment.

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Quiz rapide

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0 / 3 correct0 / 3 correct

1. 1. Où atterrit le point (2,3) après une réflexion sur l'axe des x ?

   (-2,3)(2,-3)(3,2)

2. 2. Le point (2,3) est translaté de 3 vers la droite et de 1 vers le bas. Où atterrit-il ?

   (5,2)(5,4)(-1,2)

3. 3. Une figure est agrandie par un facteur de 2. Qu'est-ce qui change et qu'est-ce qui ne change pas ?

   La taille change, la forme ne change pasLa forme change, la taille ne change pasLes deux changent