Introduction aux matrices

Des données alignées en lignes et en colonnes forment une matrice : un tableau bien rangé de nombres. Les pixels de ton écran, un classement sportif, les feuilles de résultats de trois classes : tous sont des parents des matrices. Ne sous-estime pas le tableau : il peut faire de l’arithmétique tout seul, et il peut déplacer toute une figure d’un seul geste.

Addition de matrices et multiplication par un scalaire

Additionner deux matrices de même forme suit une règle trop simple pour devoir être mémorisée : additionne les entrées aux positions correspondantes.

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$

La multiplication par un scalaire se fait aussi case par case : $2 \times \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$. Des matrices de formes différentes ne peuvent pas être additionnées : les positions ne s’alignent même pas.

Ligne fois colonne : le grand moment

Les coefficients des systèmes d’équations s’organisent naturellement en matrice comme de vieux partenaires ; la multiplication elle-même, pourtant, refuse de fonctionner case par case. Sa règle est ligne fois colonne : l’entrée de la ligne i, colonne j du résultat vient de la rencontre de la ligne i de la matrice de gauche avec la colonne j de celle de droite — on multiplie terme à terme, puis on additionne. Observe :

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 2\cdot2 & 1\cdot1 + 2\cdot0 \\ 0\cdot1 + 1\cdot2 & 0\cdot1 + 1\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$

Le 5 en haut à gauche vient de la rencontre de la ligne $(1, 2)$ avec la colonne $(1, 2)$ : $1\times1 + 2\times2 = 5$. Les trois autres cases suivent la même recette.

L’ordre compte

Avec des nombres ordinaires, $3 \times 4 = 4 \times 3$ ; les matrices perdent cette liberté. Inverse l’ordre des deux matrices ci-dessus :

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

Plus tôt, la réponse était $\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ ; maintenant elle devient $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ — inverse l’ordre et toute la réponse change. Dans le monde des matrices, $AB = BA$ est généralement faux.

Déplacer des formes avec des matrices

L’étrange règle ligne-fois-colonne révèle son vrai sens en géométrie. Dans le plan de coordonnées, écris le point $(x, y)$ comme une colonne et laisse une matrice le multiplier par la gauche :

$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}$

Le nouveau point est $(-y, x)$ — exactement une rotation de 90° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre autour de l’origine. Essaie deux points : $(1, 0)$, pointant plein est, devient $(0, 1)$, plein nord ; $(2, 3)$ devient $(-3, 2)$.

Une matrice accompagnée de l’instruction « multiplie par moi » est une commande géométrique. Au-delà des rotations viennent les symétries et les étirements : tout le répertoire des transformations est à portée d’une matrice.

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Quiz rapide

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0 / 3 correct0 / 3 correct

1. 1. Que vaut [1,2,3,4] plus [5,6,7,8] (deux lignes, deux colonnes, listées par lignes) ?

   [6,8,10,12][19,22,43,50][6,8,10,10]

2. 2. La multiplication matricielle vérifie-t-elle AB = BA ?

   toujours, comme les nombres ordinairesgénéralement non — l’ordre est crucialseulement quand les matrices sont grandes

3. 3. Avec la matrice de rotation, fais tourner le point (2, 1) de 90° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Qu’obtiens-tu ?

   (-1, 2)(1, -2)(1, 2)