Produits binomiaux remarquables

Certaines personnes peuvent dire $35^2 = 1225$ instantanément. Leur secret n'est pas un calcul mental fulgurant mais une poignée de produits remarquables mémorisés : décomposer 35 en $30 + 5$ et une formule fait le travail en trois étapes. Aujourd'hui, nous accueillons les deux plus utiles.

Le piège classique

Faisons une petite expérience : $(3+4)^2$ et $3^2 + 4^2$ sont-ils égaux ? Le premier vaut $7^2 = 49$ , le second seulement $9 + 16 = 25$ — un écart de 24. Distribuer un carré sur chaque terme à l'intérieur d'une parenthèse est l'erreur la plus tenace héritée du développement de parenthèses.

Développons honnêtement, tout multiplié par tout :

$(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Ce terme du milieu $2ab$ est exactement la source de l'écart entre 25 et 49 ( $2 \times 3 \times 4 = 24$ ). Remplacez $b$ par $-b$ et vous obtenez la deuxième identité :

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Par exemple, $(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$ — le terme du milieu porte un signe moins, et il n'est pas permis de le faire disparaître.

Voir 2ab dans une image

Pas besoin de mémoriser à l'aveugle. Dessinez un grand carré de côté $(a+b)$ et coupez-le une fois horizontalement et une fois verticalement en quatre pièces : deux carrés $a^2$ et $b^2$ , plus deux rectangles identiques $ab$ . L'aire totale $a^2 + ab + ab + b^2$ est exactement le membre de droite de la formule.

Essayez des nombres : $a = 3$ , $b = 4$ donne des pièces de 9, 12, 12 et 16, totalisant $49 = 7^2$ . Les deux 12 sont $2ab$ . Sur la grille ci-dessous, réglez la largeur et la hauteur sur 7 et comptez 49 carrés unitaires — puis imaginez les deux coupes. Ce puzzle fonctionne pour tout $a$ et $b$ .

InteractifGrille d'aires

Comment utiliser

Largeur w5Hauteur h4

Aire = longueur × largeur=5 × 4 = 20carrés unités

Différence de carrés, par découpage et recollement

La troisième identité est encore plus astucieuse : $(a+b)(a-b)$ . Le développement donne $a^2 + ab - ab - b^2$ , et les termes du milieu se simplifient, laissant

$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

Vu comme une aire : découpez un coin de côté $b$ d'un carré $a \times a$ et il reste une pièce en forme de L d'aire $a^2 - b^2$ ; faites glisser la bande verticale à côté de la bande horizontale et elle devient un rectangle exact $(a+b) \times (a-b)$ — coupez une pièce, recollez une autre, l'aire ne change pas.

C'est aussi un superpouvoir de calcul mental : $42 \times 38 = (40+2)(40-2) = 1600 - 4 = 1596$ .

Utilisez les formules, puis vérifiez-les

Développer (2x+3)²

Traitez $2x$ comme $a$ et 3 comme $b$ : $(2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$ . Vérifiez avec $x = 1$ : le membre de gauche est $(2+3)^2 = 25$ et le membre de droite est $4 + 12 + 9 = 25$ — ils concordent. L'art de la vérification se trouve dans la substitution, la meilleure assurance qu'un utilisateur de formules puisse acheter.

Où est passé le terme du milieu

Deux erreurs fréquentes : $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$ et $(a-b)^2 \neq a^2 - b^2$ — les deux réponses correctes portent un terme du milieu $\pm 2ab$ . Avant de développer, posez une question : où est le terme du milieu ?

Les formules fonctionnent aussi en sens inverse : rencontre $x^2 + 6x + 9$ , reconnais $(x+3)^2$ — et c'est déjà le travail de la factorisation.

Vérifiez-vous

Quiz rapide

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. Quel est le développement de (x + 4)² ?
2. Quel est le développement de (x + 7)(x − 7) ?
3. Utilisez la différence de carrés pour calculer 43 × 37 de tête. Quel est le résultat ?