Développement des parenthèses

$(x+2)(x+3)$ semble intimidant, mais l'ouvrir ne demande qu'une seule règle. La factorisation remet une expression dans des parenthèses ; aujourd'hui, nous allons dans l'autre sens et nous développons, en mettant chaque terme en pleine lumière.

La distributivité : un hôte, chaque invité

Tout ce qui se tient devant une parenthèse doit serrer la main à chaque terme à l'intérieur. $3(x+4)$ signifie 3 fois $x$ et 3 fois 4 :

$a(b+c) = ab + ac$

$3(x+4) = 3x + 12$

Comme diagramme de flèches : depuis le 3, une flèche pointe vers $x$ , une autre vers 4, et chaque point d'arrivée garde sa part. Oublie une flèche et la réponse sera trop petite.

Deux parenthèses : trace une grille

Quand deux parenthèses se multiplient, la règle est tout multiplié par tout. Dispose $(x+2)(x+3)$ sous forme de grille :

$\times$	$x$	$+3$
$x$	$x^2$	$3x$
$+2$	$2x$	$6$

Additionne les quatre cases :

$(x+2)(x+3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$

Certaines personnes appellent cela FOIL — First, Outer, Inner, Last. C'est le même travail que la grille, avec d'autres mots.

Les signes sont la zone dangereuse

Les nombres mordent rarement ; le signe moins, lui, le fait. Deux règles d'engagement :

Un signe moins devant une parenthèse est un $-1$ caché qui multiplie l'intérieur, donc chaque terme change de signe : $-(x-4) = -x + 4$ ;
Quand une parenthèse porte son propre signe moins, le signe voyage avec le nombre : $(x-2)(x+5) = x^2 + 5x - 2x - 10 = x^2 + 3x - 10$ .

Un signe moins change le signe de tout ce qui est dedans

Le signe moins dans $-(x-4)$ ne s'applique pas seulement au premier terme. Il multiplie $x$ et aussi $-4$ , donc le résultat est $-x + 4$ , pas $-x - 4$ . Vérifie jusqu'où va le signe moins avant de développer.

Le développement est-il correct ? Remplace par un nombre

Il est facile de se tromper en développant, et tout aussi facile de vérifier. Choisis n'importe quel $x$ ; les deux côtés doivent être égaux. Essaie $x = 1$ :

$(1+2)(1+3) = 3 \times 4 = 12 \qquad 1^2 + 5 \times 1 + 6 = 12$

Les deux côtés donnent 12, donc le développement est valable. Pour être encore plus sûr, essaie aussi $x = 2$ (les deux côtés donnent 20). C'est la même compétence que celle travaillée dans la substitution.

InteractifDéveloppeur

Comment utiliser

Une règle secrète se cache dans la machine. Donne-lui des nombres et devine la règle !

? ? ?

Sortie

—

La machine ne se soucie pas de l'apparence d'une expression : elle ne regarde que ce qui sort pour le $x$ que tu lui donnes. $(x+2)(x+3)$ et $x^2+5x+6$ ont des visages différents, mais la même entrée produit la même sortie. Au fond, développer, c'est réécrire la même machine.

Vérifie tes connaissances

Quiz rapide

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. Que donne 3(x + 5) une fois développé ?
2. Que donne −(x − 4) une fois développé ?
3. Que donne (x + 2)(x + 3) une fois développé ?