Formules et transformations

$C = 2\pi r$, $A = \frac{1}{2}bh$... des expressions comme celles-ci sont des formules : des relations qu'une famille entière de problèmes utilise encore et encore, écrites une fois et gardées dans ta poche. Une formule fait deux choses : substituer — cuisiner la recette vers l'avant ; transformer — faire fonctionner la recette à l'envers.

Une formule est une recette

Chaque formule est une liste d'ingrédients :

• Circonférence d'un cercle : $C = 2\pi r$ — le rayon $r$ entre, la circonférence $C$ sort ;
• Aire d'un triangle : $A = \frac{1}{2}bh$ — la base $b$ et la hauteur $h$ entrent, l'aire $A$ sort.

Les lettres ne sont que des étiquettes pour les ingrédients. La recette reste fixe, des ingrédients différents donnent des plats différents : voilà pourquoi une formule fonctionne une fois pour toutes.

Substituer : cuisiner la recette

Pour un triangle de base 8 cm et de hauteur 5 cm, place les nombres dans la recette :

$A = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20 \ \mathrm{cm^2}$

Remplacer, calculer, ajouter l'unité : trois étapes et c'est terminé. Cet entraînement est déjà bien travaillé dans la substitution.

Transformer : donner le rôle principal à une autre lettre

Les formules sont souvent demandées à l'envers : étant données la distance $d$ et la vitesse $v$, quel est le temps $t$ ? Alors $t$ doit rester seul d'un côté du signe égal pendant que tout le reste passe de l'autre côté. L'outil est une balance : fais la même chose des deux côtés en même temps, et la balance ne penche jamais.

Pour isoler $t$ dans $d = vt$ : divise les deux côtés par $v$, ce qui ne laisse que $t$ à droite :

$t = \frac{d}{v}$

De même, pour isoler le rayon dans $C = 2\pi r$ : divise les deux côtés par $2\pi$ :

$r = \frac{C}{2\pi}$

La lettre que tu veux dans le rôle principal reste seule d'un côté : c'est tout.

Vérifier la formule transformée avec des nombres

Il est facile d'inverser de travers en transformant une formule, mais la vérification ne coûte presque rien : choisis un nombre, avance dans la formule d'origine, puis reviens avec la nouvelle. Prends $r = 2$ : la circonférence est $C = 2\pi \times 2 = 4\pi$. Injecte $4\pi$ dans la formule transformée :

$r = \frac{4\pi}{2\pi} = 2$

Un tour complet revient à 2 : la transformation est correcte. Même chose pour la distance : avec $d = 100$, $v = 20$, on obtient $t = 100 \div 20 = 5$, et en vérifiant, $20 \times 5 = 100$. Quand l'aller et le retour fonctionnent tous les deux, la formule est vraiment à toi.

Comment utiliser

Une règle secrète se cache dans la machine. Donne-lui des nombres et devine la règle !

Entrée

? ? ?

Sortie

—

Révéler la règleNouvelle règle

Imagine la formule comme une machine : l'alimenter vers l'avant, c'est substituer ; la penser à l'envers, c'est transformer. Connaître la sortie et retrouver l'entrée, c'est exactement le jeu préféré de cette machine.

Vérifie tes connaissances

Quiz rapide

Réessayer

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. 1. d = vt avec d = 150 et v = 30 : que vaut t ?

   354500

2. 2. Après avoir transformé C = 2πr, à quoi r est-il égal ?

   C − 2πC ÷ 2π2π ÷ C

3. 3. A = ½bh : que vaut A quand b = 6 et h = 4 ?

   101224