Introduction aux limites

Il y a deux mille ans, Zénon taquinait les voyageurs avec ceci : pour atteindre une porte, parcourez d’abord la moitié du chemin, puis la moitié de ce qui reste, puis encore la moitié — une liste interminable de trajets. Pouvez-vous jamais arriver ? Transformez son énigme en arithmétique et vous rencontrez la limite.

Des pas infinis, une somme finie

Additionnez les distances de chaque pas :

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots$

Après $n$ pas, le total est $1 - \frac{1}{2^n}$ : la distance à 1 est exactement le petit morceau encore non parcouru. Les morceaux rétrécissent, la somme rampe vers 1 et ne dépasse jamais 1. Cette valeur cible 1 — approchée pour toujours, jamais dépassée — est la limite de la somme. Les pas ne s’arrêtent jamais, mais la destination est parfaitement claire.

La limite : là où une fonction se dirige

Les limites concernent aussi les fonctions. Regardez celle-ci (à $x = 2$ , le dénominateur est 0, donc la fonction n’y est même pas définie) :

$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

Un tableau : se rapprocher de 2 des deux côtés

À $x = 1.9$ , $f(x) = 3.9$ ; à $x = 1.99$ , $f(x) = 3.99$ ; à $x = 1.999$ , $f(x) = 3.999$ ;
À $x = 2.1$ , $f(x) = 4.1$ ; à $x = 2.01$ , $f(x) = 4.01$ ; à $x = 2.001$ , $f(x) = 4.001$ .

Les deux côtés foncent vers 4, donc $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$ . Pourquoi : pour $x \neq 2$ , $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2$ , et lorsque $x$ s’approche de 2, $x + 2$ s’approche de 4.

La phrase clé : une limite décrit là où une fonction se dirige — elle n’exige pas que la fonction y arrive. $f(2)$ n’existe même pas, et pourtant la limite existe. Remplacer par une valeur et prendre une limite sont deux opérations différentes.

Limites unilatérales, en une ligne

S’approcher par la gauche s’écrit $x \to 2^-$ , par la droite $x \to 2^+$ ; la limite complète n’existe que lorsque les deux limites unilatérales concordent. Ci-dessus, les deux côtés donnent 4, donc la limite est 4.

Le laboratoire de l’approche

La limite est le battement de cœur du calcul infinitésimal. Dans Introduction aux dérivées, la pente de la tangente est définie exactement de cette façon : la pente de la sécante se rapproche d’une valeur lorsque $h$ rétrécit, et cette valeur limite est la pente de la tangente. Faites glisser le curseur pour rétrécir $h$ et regardez la sécante épouser la tangente — vous assistez à une limite en action :

InteractifLaboratoire d’approche

Comment utiliser

Point x₀0.5Pas h1.5

Pente de la sécante

2.500

Pente de la tangente

1.000

Fais glisser h vers 0 et la sécante épouse la tangente — c’est la dérivée.

Pourquoi 0,999… égale 1

Posons $x = 0.999\cdots$ . Alors $10x = 9.999\cdots$ , et la soustraction annule la queue infinie : $10x - x = 9$ , donc $x = 1$ . Dans le langage des limites : l’écart entre $0.999\cdots$ et 1 est $0.000\cdots$ — un nombre décimal dont chaque chiffre est 0. Un écart de zéro signifie qu’ils sont le même nombre. Donc $0.999\cdots = 1$ n’est pas « assez proche » ; c’est une équation exacte.

Une petite routine pour les limites

D’abord, essayez de remplacer la valeur. Si cela échoue (par exemple vous obtenez $\frac{0}{0}$ ), simplifiez d’abord — factorisez, annulez, combinez les fractions — pour supprimer le point problématique, puis regardez vers quoi l’expression simplifiée se dirige.

Testez-vous

Quiz rapide

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. Que vaut 1/2 + 1/4 + 1/8 + … additionnés pour toujours ?
2. Que vaut lim(x→2) (x² − 4)/(x − 2) ?
3. Comment 0,999… (une infinité de 9) se compare-t-il à 1 ?