Suites de nombres

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... qu’est-ce qui vient ensuite ? L’un des jeux préférés des mathématiciens consiste à débusquer la règle cachée dans une série de nombres. Des nombres alignés selon une règle forment une suite, et chaque nombre de cette suite est un terme. Une fois la règle trouvée, le terme 10 comme le terme 100 se plient à ta prédiction.

Le secret entre voisins

La recherche la plus directe : observe les termes voisins et demande-toi : « que s’est-il passé de l’un au suivant ? »

Ajouter 3 à chaque fois : 2, 5, 8, 11, 14... ensuite vient 17 ;
Multiplier par 2 à chaque fois : 1, 2, 4, 8, 16... ensuite vient 32 ;
Alterner : +2, ×2, +2, ×2... donne 1, 3, 6, 8, 16 — le prochain mouvement est une addition, ce qui donne 18.

Les règles peuvent ajouter, multiplier ou alterner des changements — observe donc plusieurs termes avant de te décider.

Observe avant de te lancer

1, 2, 4, 8 ressemble à « doubler à chaque fois », ce qui promettrait 16 ensuite. Mais si la suite continuait par 31 ? Ce serait alors le début de la suite du découpage du cercle. Vérifie avec les termes qui te sont donnés, et ne parie jamais sur le premier motif que tu vois.

InteractifMachine à motifs

Comment utiliser

Une règle secrète se cache dans la machine. Donne-lui des nombres et devine la règle !

? ? ?

Sortie

—

Cette machine garde jalousement ses règles : donne-lui un nombre, elle renvoie un nombre, et la règle reste secrète jusqu’à ce que tu la devines. Une suite fonctionne de la même manière — l’entrée est « quel terme », la sortie est « la valeur de ce terme », et la machine invisible entre les deux est la règle.

Terme n : droit vers la réponse

« Ajouter 3 à chaque fois » fonctionne, mais atteindre le terme 100 signifie ajouter 99 fois. La question plus maligne est : peut-on calculer le terme n directement à partir de n ?

$n$	1	2	3	4	5
Terme	4	7	10	13	16

La règle du tableau est « ajouter 3 à chaque fois », ce qui s’écrit aussi $4 + 3 \times (n - 1)$ — autrement dit, $3n + 1$ . Vérifie deux fois : $n = 1$ donne 4, $n = 4$ donne 13, les deux correspondent. Le terme 100 n’est plus qu’à une étape : $3 \times 100 + 1 = 301$ .

Toute une famille de formules position-vers-terme :

nombres pairs 2, 4, 6, 8... le terme n est $2n$ ;
3, 5, 7, 9... le terme n est $2n + 1$ ;
nombres carrés 1, 4, 9, 16... le terme n est $n^2$ .

Vérifie avec deux valeurs

Après avoir proposé une formule pour le terme n, remplace n par au moins deux valeurs : $3n + 1$ donne 4 pour $n = 1$ et 13 pour $n = 4$ . Une seule correspondance peut être une coïncidence ; deux correspondances signifient que c’est presque sûrement la règle.

Suites arithmétiques : des pas égaux

Quand chaque terme dépasse le précédent du même nombre, la suite est dite arithmétique, et ce pas fixe est la différence commune. Dans 4, 7, 10, 13... la différence est 3.

Une recette universelle pour le terme n : premier terme + (n − 1) × différence. Terme 10 de la suite ci-dessus :

$4 + 9 \times 3 = 31$

Du terme 1 au terme 10, il y a 9 pas — pas 10. Ce décalage d’une unité est le piège classique.

Des suites pour s’amuser

Nombres triangulaires : 1, 3, 6, 10, 15... chacun dispose des points en triangle, et le terme n est $\frac{n(n+1)}{2}$ ;
Look-and-say : 1, 11, 21, 1211, 111221... chaque terme « lit » le précédent à voix haute : un 1, deux 1, un 2 un 1. Cela ne compte que si tu le dis à voix haute.

Les règles ne vivent pas toujours dans l’addition et la multiplication — parfois elles se cachent dans des formes, et parfois dans ta propre bouche. Pour alimenter la machine et deviner toi-même des règles, joue avec Variables et machine à fonctions.

Vérifie tes connaissances

Quiz rapide

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. Qu’est-ce qui vient ensuite dans 3, 6, 12, 24 ?
2. Quel est le terme 10 de la suite arithmétique 5, 9, 13, ... ?
3. Quelle formule donne le terme n de 3, 5, 7, 9 ?