Équation d'une droite

Toute droite qu'une règle peut tracer — raide ou plate — tient dans une courte formule. Lis-la bien et deux lettres te diront à quoi ressemble toute la droite. Les lettres $m$ et $b$ fonctionnent exactement comme les variables que tu as utilisées dans Variables et la machine à fonctions.

y = mx + b : chaque lettre a un rôle

$y = mx + b$

$m$ est la pente : à quel point la droite monte ;
$b$ est l'ordonnée à l'origine : là où la droite rencontre l'axe des y — son point de départ quand $x = 0$ ;
Place chaque point $(x, y)$ qui vérifie la formule et ils s'alignent, parfaitement droits.

Prends $y = 2x + 1$ : quand $x = 0$ , $y = 1$ , donc la droite part de $(0, 1)$ ; à chaque fois que $x$ augmente de 1, $y$ augmente de 2.

Pente m : élévation sur avancée

La pente répond à une question : pour chaque pas en avant, de combien montes-tu ?

$m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$

La lettre grecque $\Delta$ (delta) signifie « variation » : $\Delta y$ indique de combien y a changé, $\Delta x$ indique de combien x a changé. Par exemple, une droite passant par $(1, 3)$ et $(4, 9)$ :

$m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$

Un pas à droite, deux pas vers le haut. Plus $m$ est grand, plus la droite est raide : avec $m > 0$ , la droite monte vers la droite ; avec $m < 0$ , elle descend.

Pourquoi la droite est droite

Choisis deux points quelconques sur la droite et tu obtiendras la même pente. Un taux de variation qui ne change jamais, voilà ce que « droite » signifie en algèbre.

Droites horizontales et verticales

Deux droites méritent qu'on les regarde de plus près :

Les droites horizontales, comme $y = 3$ : x bouge, y ne bronche jamais, donc la pente est $m = 0$ — aucune inclinaison ;
Les droites verticales, comme $x = 2$ : y bouge, x ne bronche jamais. C'est la seule droite que $y = mx + b$ ne peut pas représenter — $\Delta x = 0$ , et diviser par zéro n'a pas de sens, donc une droite verticale n'a pas de pente.

m et b dans la vie réelle

Un forfait téléphonique : 19 yuans par mois, plus 3 yuans par Go de données. Soit $x$ le nombre de Go utilisés et $y$ la facture :

$y = 3x + 19$

$m = 3$ est le taux de variation : chaque Go supplémentaire coûte 3 yuans de plus. $b = 19$ est le point de départ : le forfait mensuel que tu paies même avec zéro donnée. À 10 Go, $y = 3 \times 10 + 19 = 49$ yuans.

Beaucoup de situations réelles partagent cette forme : $b$ est la part fixe, $m$ est la part à l'usage.

Laboratoire des droites

InteractifLaboratoire des droites

Comment utiliser

Pente m1Ordonnée à l’origine b2

y = x + 2

intersection avec l’axe y

(0, 2)

intersection avec l’axe x

(-2, 0)

Fais glisser les curseurs de $m$ et $b$ . Déplace d'abord seulement $b$ et regarde toute la droite glisser ; puis déplace seulement $m$ et regarde-la pivoter autour de l'ordonnée à l'origine — plus plate, plus raide, montante ou descendante.

Teste-toi

Quiz rapide

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. Une droite passe par (0, 5) et monte de 2 pour chaque déplacement de 1 vers la droite. Quelle est l'équation de cette droite ?
2. Quelle droite est la plus raide ?
3. Le forfait est de 19 yuans par mois plus 3 yuans par Go. Combien coûtent 10 Go ?