Équations du second degré

Lance un ballon vers le haut et il trace un arc courbe avant de retomber ; le jet d’une fontaine et le plongeon d’une montagne russe sont tous des parents de cette courbe. Elle s’appelle une parabole, et le metteur en scène en coulisse est une équation contenant $x^2$. Et $x^2$, c’est simplement $x \cdot x$ — le raccourci de multiplication vu dans les exposants, qui prend aujourd’hui le rôle principal.

Ce qui rend une équation quadratique

Regarde la plus grande puissance de x dans l’expression :

• $2x + 1 = 0$ : la plus grande puissance est 1 — affaire de droite, régie par l’équation d’une droite ;
• $x^2 - 3x - 10 = 0$ : la plus grande puissance est $x^2$ — c’est une équation du second degré.

Sous forme générale, elle s’écrit $ax^2 + bx + c = 0$ (avec $a \ne 0$). Dès que $a = 0$, le terme en $x^2$ disparaît et l’équation redevient une droite.

Fais un tableau, et la parabole apparaît

Construis un tableau pour $y = x^2$ :

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Deux observations :

• y n’est jamais négatif — élever au carré ne crée jamais de dette ;
• x à $-3$ et à $3$ donne dans les deux cas $y = 9$ : le graphique est symétrique comme dans un miroir et se courbe en bol. Ce bol est la parabole.

Résoudre : factorise d’abord, puis attaque chaque facteur

Résous $x^2 - 3x - 10 = 0$. Le membre de gauche se factorise en deux parenthèses — trouve deux nombres dont le produit est $-10$ et dont la somme est $-3$ : ce sont $-5$ et $2$. Donc

$(x - 5)(x + 2) = 0$

L’étape clé : si deux nombres se multiplient pour donner 0, alors au moins l’un d’eux vaut 0. Donc soit

$x - 5 = 0$

soit

$x + 2 = 0$

ce qui donne $x = 5$ ou $x = -2$. Remplace les deux valeurs dans l’équation pour vérifier : $5^2 - 3 \times 5 - 10 = 25 - 15 - 10 = 0$, et $(-2)^2 - 3 \times (-2) - 10 = 4 + 6 - 10 = 0$. Les deux conviennent. Pourquoi deux réponses ? Une parabole peut couper l’axe des x en deux points, et chaque intersection est une solution. L’art de factoriser a sa propre visite dans la factorisation.

Une clé de secours : la formule quadratique

Quand la factorisation bloque, ne panique pas : il existe une clé maîtresse. Pour $ax^2 + bx + c = 0$ :

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Le symbole $\pm$ se lit « plus ou moins » : les deux réponses sortent ensemble. Essaie-la sur la même équation $x^2 - 3x - 10 = 0$ : ici $a = 1$, $b = -3$, $c = -10$, donc

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}$

Le signe plus donne $x = 5$, le signe moins donne $x = -2$ — même destination que la factorisation, par une autre route.

De la droite à la parabole

Comment utiliser

Pente m1Ordonnée à l’origine b2

y = x + 2

intersection avec l’axe y

(0, 2)

intersection avec l’axe x

(-2, 0)

C’est l’ancienne scène de la leçon sur les droites : fais glisser $m$ et $b$, et à chaque pas où x augmente, y augmente de la même quantité — c’est exactement pourquoi une droite ne tourne jamais. Les équations du second degré font l’inverse : dans le tableau de $y = x^2$, les écarts en y sont $1, 3, 5, 7$, de plus en plus rapides, donc le graphique se courbe de plus en plus fortement. Une droite avance à un rythme constant, une parabole accélère — cette seule courbure ouvre tout un nouveau monde.

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Quiz rapide

Réessayer

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. 1. Laquelle est une équation du second degré ?

   x² - 4 = 03x + 1 = 0x = 8

2. 2. Quelles sont les solutions de (x - 5)(x + 2) = 0 ?

   x = 5 ou x = -2seulement x = 5x = -2 ou x = 2

3. 3. En utilisant la formule quadratique sur x² - 3x - 10 = 0, que vaut b ?

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