Résoudre des équations linéaires

$3x + 5 = 17$ est une énigme : quel nombre, multiplié par 3 puis augmenté de 5, tombe exactement sur 17 ? On peut le trouver par essais, mais les mathématiciens ont une méthode — traiter l'équation comme une balance et isoler calmement $x$ .

La règle de la balance : agir sur les deux côtés

Le signe égal est le pivot : les deux plateaux doivent peser le même poids. Vous pouvez faire n'importe quoi à une balance, à condition de le faire des deux côtés :

ajouter 5 aux deux côtés ou soustraire 5 des deux côtés — elle reste équilibrée ;
multiplier les deux côtés par 3 ou les diviser tous deux par 3 — elle reste équilibrée.

Résoudre a un seul but : laisser $x$ tout seul d'un côté. L'outil s'appelle les opérations inverses — l'addition défait la soustraction, la division défait la multiplication.

Isoler x, étape par étape

D'abord, $3x + 5 = 17$ :

Soustraire 5 des deux côtés pour enlever la constante sans rapport : $3x = 12$ ;
Diviser les deux côtés par 3 pour détacher le coefficient : $x = 4$ .

Maintenant une équation avec $x$ des deux côtés : $5x - 2 = 3x + 8$ .

Soustraire $3x$ des deux côtés pour regrouper les termes en $x$ : $2x - 2 = 8$ ;
Ajouter 2 aux deux côtés : $2x = 10$ ;
Diviser les deux côtés par 2 : $x = 5$ .

Devise : regrouper les termes en $x$ , éliminer la constante, diviser par le coefficient. D'autres ordres fonctionnent parfois, mais celui-ci évite le plus de détours.

Vérifier les réponses et compter les solutions

Ne partez pas trop vite après avoir résolu — remplacez dans l'équation d'origine. Pour $x = 4$ : le membre de gauche donne $3 \times 4 + 5 = 17$ , et le membre de droite vaut aussi 17. Pour $x = 5$ : à gauche $5 \times 5 - 2 = 23$ , à droite $3 \times 5 + 8 = 23$ . Vérifier, c'est exactement la substitution en action : une solution est le nombre qui rend l'équation vraie.

Combien de solutions ?

Une équation linéaire a généralement exactement une solution, mais il existe des exceptions. $x + 1 = x + 2$ laisse $1 = 2$ après avoir soustrait $x$ — une contradiction, donc aucune solution. Et $x + x = 2x$ est vrai pour tout $x$ — chaque nombre est une solution. Sur la balance : certaines balances ne peuvent jamais s'équilibrer ; d'autres restent équilibrées quoi que vous y mettiez.

Les équations comme des droites

Les équations peuvent aussi être dessinées. Résoudre $2x + 1 = 5$ demande : où la droite $y = 2x + 1$ atteint-elle la hauteur 5 ? La droite commence à $b = 1$ et monte avec une pente $m = 2$ ; là où elle atteint la hauteur 5, la coordonnée horizontale est exactement $x = 2$ . La solution d'une équation est l'endroit où sa droite rencontre cette ligne de hauteur. Ce que signifient $m$ et $b$ est le thème de l'équation d'une droite.

InteractifLes équations comme des droites

Comment utiliser

Pente m1Ordonnée à l’origine b2

y = x + 2

intersection avec l’axe y

(0, 2)

intersection avec l’axe x

(-2, 0)

Réglez les curseurs sur $m = 2$ et $b = 1$ , avancez le long de la droite jusqu'à la hauteur 5, puis lisez la coordonnée horizontale — c'est la solution de $2x + 1 = 5$ . Essayez d'autres valeurs de $m$ et $b$ et observez la solution se déplacer.

Vérifie tes connaissances

Quiz rapide

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. Résous 2x+3=11. Que vaut x ?
2. Résous 5x−2=3x+8. Que vaut x ?
3. Combien de solutions possède x+1=x+2 ?