Geometria
Teoremas do Círculo
Três teoremas sobre ângulos centrais, ângulos inscritos e diâmetros — as regras que um círculo impõe silenciosamente.
Por que as rodas são sempre redondas? Porque cada ponto de um círculo está à mesma distância do centro — então o passeio nunca balança. Dentro dessa forma "absolutamente justa" escondem-se várias leis belas sobre ângulos.
Primeiro, acerte os nomes
O centro é ; o segmento que une o centro a um ponto do círculo é o raio, e seu primo duplicado através do centro é o diâmetro. Você já conheceu essas partes em círculos. As estrelas de hoje são dois tipos de ângulos — ambos ângulos comuns, medidos da maneira usual:
- Um ângulo central: vértice no centro, lados tocando dois pontos do círculo;
- Um ângulo inscrito: vértice no próprio círculo, lados ao longo de duas cordas.
O trecho de circunferência entre os lados é um arco — e a parceria entre arcos e ângulos é o enredo principal de hoje (ela tem papéis maiores em arcos e setores).
Como usar
Diâmetro d
d = 6
Circunferência C = 2πr
C = 18.85
Área A = πr²
A = 28.27
C = 2πr = 2π×3 ≈ 18.85 · A = πr² = π×3² ≈ 28.27
Arraste o controle de raio e observe o diâmetro, a circunferência e a área seguirem — o diâmetro é sempre o dobro do raio. Aquecido? Vamos aos três teoremas.
O teorema do ângulo inscrito: a relação da metade
Observe o mesmo arco uma vez do centro, depois de qualquer ponto do círculo: o ângulo inscrito é sempre a metade do ângulo central que sustenta o mesmo arco. Do centro, o arco está perto, então a vista é mais ampla; recue até a borda e o mesmo arco encolhe para metade do seu tamanho aparente. Um ângulo central de 80° vem com um ângulo inscrito de 40°; 90° vem com 45°.
Ângulos inscritos no mesmo arco são iguais
Dois estudantes estão em pontos diferentes do círculo (mesmo lado) e observam um arco compartilhado: os ângulos inscritos que medem são iguais — cada um é a metade do mesmo ângulo central, e uma metade é igual à outra. Com um ângulo central de 60°, onde você estiver no lado do arco do círculo, o ângulo inscrito mede 30°. "Mesmo arco" age como um certificado de igualdade do círculo: mude sua posição, não seu ângulo.
Um ângulo em uma semicircunferência é 90°
O arco mais especial é a semicircunferência — seus extremos unidos por um diâmetro. O ângulo central sobre um diâmetro é o ângulo raso de 180°, então de qualquer ponto do círculo, o ângulo inscrito que enfrenta esse diâmetro é sempre . Em outras palavras: um triângulo inscrito em um círculo com um lado sendo um diâmetro deve ser um triângulo retângulo, com o diâmetro como sua hipotenusa — um aperto de mãos elegante com o teorema de Pitágoras. Precisa de um ângulo reto sem transferidor? Desenhe um círculo, trace um diâmetro, marque qualquer ponto na borda — três movimentos e pronto.
Os três teoremas de uma vez só
Um arco enfrenta um ângulo central de 100°, e , são dois pontos do mesmo lado do círculo: — cada um é metade do ângulo central, portanto iguais entre si. Troque o arco por uma semicircunferência (ângulo central de 180°) e o ângulo inscrito se torna 90°. Os três teoremas são uma família: todos crescem a partir de "ângulo inscrito = ângulo central ÷ 2".
Verifique-se
Questionário rápido
1. Um arco enfrenta um ângulo central de 100°. Qual é o seu ângulo inscrito?
2. AB é um diâmetro e C é qualquer ponto do círculo. Quanto mede ∠ACB?
3. C e D estão no mesmo lado do círculo, ambos olhando para o arco AB. Como ∠ACB e ∠ADB se relacionam?