Identidades Trigonométricas

Na aula anterior, sin, cos e tan pareciam três entradas de tabela não relacionadas. Na verdade, eles são uma família: para qualquer ângulo dado, as três razões satisfazem equações que valem sempre e em toda parte — identidades trigonométricas. A mais famosa é apenas o teorema de Pitágoras com roupas diferentes. Nesta aula, nós o derivamos diretamente da geometria, e depois usamos identidades para simplificar uma expressão.

sin e cos no círculo unitário

Desenhe um círculo de raio 1 (o círculo unitário) centrado na origem. A partir do centro, desenhe um raio formando um ângulo $\theta$ com o eixo x, encontrando o círculo em um ponto. Esse ponto tem coordenadas $(\cos\theta, \sin\theta)$ — o cosseno é a coordenada horizontal, o seno é a vertical.

Por quê? Complete o triângulo: o raio é a hipotenusa, e os segmentos horizontal e vertical são os catetos. O raio é 1, então ele é a hipotenusa; o cateto adjacente a $\theta$ é a coordenada horizontal e o cateto oposto a $\theta$ é a vertical. As definições de trigonometria dividem pela hipotenusa — e dividir por 1 não muda nada, então as razões simplesmente são as coordenadas. O círculo unitário eleva a trigonometria de uma propriedade de triângulos para a posição de um ponto, e resolve uma questão antiga no caminho: por que sin e cos nunca saem do intervalo de −1 a 1? O valor absoluto de uma coordenada nunca excede a distância do ponto ao centro — e em um círculo de raio 1, essa distância é exatamente 1.

O outro nome do teorema de Pitágoras

O ponto está no círculo unitário, então sua distância da origem é sempre 1. Aplique a fórmula da distância (que é o teorema de Pitágoras) a $(x, y)$: $x^2 + y^2 = 1$. Substitua $x = \cos\theta$ e $y = \sin\theta$:

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

Esta é a identidade pitagórica, e vale para todos os ângulos. Verifique com a tabela da aula anterior: em $\theta = 30^\circ$, $0.5^2 + 0.866^2 \approx 0.25 + 0.75 = 1$; em $\theta = 45^\circ$, $0.707^2 + 0.707^2 \approx 0.5 + 0.5 = 1$. Sem exceções — o ponto final de todo ângulo está no círculo unitário.

Como usar

Cateto a3Cateto b4

3² + 4² = 9 + 16 = 25 = c²

Hipotenusa c c = √25 ≈ 5.00整数勾股数 · Pythagorean triple!

Arraste os dois catetos e observe as áreas dos três quadrados. Mantenha um olho nisto: o quadrado sobre a hipotenusa é igual aos dois quadrados sobre os catetos combinados. Reduza a hipotenusa para 1 — seu quadrado tem área 1, e os dois quadrados dos catetos são exatamente $\cos^2\theta$ e $\sin^2\theta$. A identidade é o teorema de Pitágoras vivendo no círculo unitário.

A identidade do quociente: de onde vem tan

Tan tem uma definição própria — pode ser escrita usando sin e cos? Divida o numerador e o denominador de "oposto ÷ adjacente" pela hipotenusa; a razão não muda, e o que resta são duas razões conhecidas dividindo uma pela outra:

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

Esta identidade do quociente também corresponde à tabela: $\tan 45^\circ = 0.707 \div 0.707 = 1$, e $\tan 30^\circ = 0.5 \div 0.866 \approx 0.577$. Seu significado vai além — das três razões, apenas duas são independentes. A terceira é decidida pelas duas primeiras: conhecendo sin e cos, tan vem de graça.

Simplificando com identidades

Uma identidade é uma "permissão de reorganização": seus dois lados são sempre iguais, então você pode trocá-los à vontade. Simplificar significa reescrever uma expressão em uma forma mais fácil.

Em Lei dos Senos e Cossenos, essas razões saem dos triângulos retângulos para enfrentar triângulos oblíquos.

Verifique-se

Questionário rápido

Tentar de novo

0 / 3 corretas0 / 3 corretas

1. 1. Em θ = 45°, sin²θ + cos²θ é igual a?

   0.51cerca de 1.41

2. 2. Um ângulo agudo θ satisfaz sinθ = 0.6. Qual é cosθ?

   0.40.80.64

3. 3. Simplifique 1 − sin²θ.

   cos²θsinθ1 − cos²θ