Arcos & Setores

Uma pizza chega e você corta uma fatia para si. Duas coisas sobre essa fatia valem a pena medir: o comprimento da borda e a quantidade de pizza que ela cobre. Cada uma é uma parte de um círculo — um arco e um setor. E quão grande é essa parte? Um número decide: o ângulo central.

O ângulo central define a parte

O ângulo entre dois raios traçados a partir do centro é o ângulo central. O círculo inteiro tem $360°$ , então um ângulo de $n$ fornece uma fração natural:

$\frac{n}{360}$

Uma fatia de $90°$ ocupa $\frac{90}{360} = \frac{1}{4}$ do círculo — um quarto da borda e um quarto da pizza. Arco e setor sempre se movem juntos, e essa regra de sincronia é exatamente por que os gráficos de pizza funcionam.

InterativoCortador de Setores

Como usar

Raio r3

Diâmetro d

d = 6

Circunferência C = 2πr

C = 18.85

Área A = πr²

A = 28.27

C = 2πr = 2π×3 ≈ 18.85 · A = πr² = π×3² ≈ 28.27

Use o explorador para ajustar um raio e obter a circunferência e a área completas. Em seguida, corte pela fração do ângulo central — o comprimento do arco e a área do setor estão ambos prontos.

Duas fórmulas: uma parte de cada

$L = \frac{n}{360} \times 2\pi r \qquad S = \frac{n}{360} \times \pi r^2$

As fórmulas são gêmeas com bases diferentes: o comprimento do arco usa a parte da circunferência, a área do setor usa a parte da área. Pegar a base errada é o erro mais comum.

Pegue a base certa

Para um arco de $60°$ com raio 3: $\frac{1}{6} \times 2\pi \times 3 = \pi \approx 3.14$ . Se usar a área como base por engano, você obtém $\frac{1}{6} \times 9\pi \approx 4.71$ — cerca de metade a mais.

Exemplo resolvido: um setor de 90°

Raio 6, ângulo central $90°$ :

fração: $\frac{90}{360} = \frac{1}{4}$
comprimento do arco $L = \frac{1}{4} \times 2\pi \times 6 = 3\pi \approx 9.42$
área $S = \frac{1}{4} \times \pi \times 6^2 = 9\pi \approx 28.27$

A pergunta justa da pizza

Oito pessoas dividem uma pizza e todas as fatias devem ser iguais. Qual é o ângulo central? $360° \div 8 = 45°$ . Quer o dobro de borda? Corte um ângulo maior — com o raio fixo, tanto o arco quanto a área respondem apenas ao ângulo central.

Arcos e setores ao seu redor

Fatias de pizza, pás de ventilador, a região varrida pelo ponteiro de um relógio, cada fatia de um gráfico de pizza — todos são setores. Compará-los requer um mantra: encontre a fração primeiro, depois multiplique pelo todo. Para mais prática com o pensamento de frações, vá para Porcentagens.

Verifique o que aprendeu

Questionário rápido

0 / 3 corretas0 / 3 corretas

1. Um arco de 180° é que fração da circunferência?
2. Raio 6, ângulo central 90°: qual é o comprimento do arco?
3. O raio permanece fixo, mas o ângulo central dobra. A área do setor…