Teorema de Pitágoras

As histórias contam que há quatro mil anos, os construtores egípcios esticavam uma corda dividida em 12 partes iguais formando um triângulo 3-4-5 ( $3+4+5=12$ , usando cada parte) — e sempre que os lados estavam nessa razão, o canto era um ângulo reto perfeito. Eles não conheciam álgebra, mas já usavam o teorema de Pitágoras.

Conheça o triângulo retângulo

Um triângulo retângulo é um triângulo com um ângulo de exatamente 90°. Seus três lados têm nomes:

Os dois lados que tocam o ângulo reto são os catetos;
O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa — sempre o mais longo.

O teorema: um conto de três quadrados

Construa um quadrado sobre cada um dos três lados. Há mais de dois mil anos, os seguidores de Pitágoras notaram uma relação que nunca falha:

$a^2 + b^2 = c^2$

As áreas dos dois quadrados sobre os catetos somam exatamente a área do quadrado grande sobre a hipotenusa. Com catetos 3 e 4: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ , então a hipotenusa é 5.

A relação também funciona ao contrário: se os quadrados dos dois lados mais curtos somam o quadrado do lado mais longo, o triângulo deve conter um ângulo reto — sem precisar de transferidor, apenas aritmética. Os seguidores de Pitágoras até a tratavam como um quebra-cabeça: corte os dois quadrados sobre os catetos e suas peças sempre podem ser reorganizadas no quadrado grande sobre a hipotenusa.

Arraste os catetos e observe os três quadrados responderem:

InterativoExplorador de Pitágoras

Como usar

Cateto a3Cateto b4

3² + 4² = 9 + 16 = 25 = c²

Hipotenusa c c = √25 ≈ 5.00整数勾股数 · Pythagorean triple!

Trios pitagóricos: trios prontos

Triângulos retângulos cujos três lados são números inteiros vêm em combinações famosas chamadas trios pitagóricos:

$3, 4, 5$ : porque $9 + 16 = 25$ ;
$6, 8, 10$ : aumente 3-4-5 por 2 e o ângulo reto sobrevive;
$5, 12, 13$ : porque $25 + 144 = 169$ .

E a lista nunca acaba: multiplique 3-4-5 por 3 para obter 9-12-15, por 4 para obter 12-16-20 — toda cópia escalada funciona, porque multiplicar apenas aumenta o triângulo.

Memorize 3-4-5 e você pode tirar um ângulo reto do bolso em um canteiro de obras, uma planta baixa ou um grid.

Exemplo resolvido: uma escada contra a parede

Escada contra a parede

Uma escada de 5 metros está encostada em uma parede com o pé a 3 metros da base. Até que altura na parede o topo alcança?

A escada é a hipotenusa $c = 5$ , a distância da parede é um cateto $a = 3$ , e a altura é $b$ :

$b^2 = c^2 - a^2 = 25 - 9 = 16, \qquad b = 4$

O topo está a 4 metros acima do chão. Para encontrar um cateto você subtrai; para encontrar a hipotenusa você soma. Identifique a hipotenusa primeiro e a fórmula nunca será invertida.

Apenas triângulos retângulos

O teorema de Pitágoras é propriedade exclusiva dos triângulos retângulos. Em um triângulo com lados 4, 5 e 6, $4^2 + 5^2 = 41 \neq 36$ — se o triângulo não for retângulo, a fórmula não se aplica. Confirme que o ângulo de 90° existe antes de calcular.

Verifique-se

Questionário rápido

0 / 3 corretas0 / 3 corretas

1. Um triângulo retângulo tem catetos 6 e 8. Quanto mede a hipotenusa?
2. Um triângulo com lados 5, 12 e 13 é um triângulo retângulo?
3. A quais triângulos o teorema de Pitágoras se aplica?