Geometria
Pontos, Linhas e Planos
Um ponto da ponta de uma caneta, uma corda esticada, um tampo de mesa — os três blocos básicos da geometria.
Pressione a ponta de uma caneta no papel e você faz um ponto. Arraste o ponto e seu rastro é uma linha. Varra a linha lateralmente e ela se espalha em um plano. Todo o mundo da geometria é montado a partir desses três blocos básicos. Eles não têm tamanho nem espessura — pura abstração — mas toda figura que você já viu se apoia neles.
Pontos, segmentos, semirretas e retas
Um ponto é uma marca com posição, mas sem tamanho. Coloque-o em movimento e você obtém uma linha, que vem em três variedades:
- Um segmento: dois pontos finais, um comprimento mensurável, como a borda de um livro didático;
- Uma semirreta: um ponto final, estendendo-se para sempre na outra direção, como o feixe de uma lanterna;
- Uma reta: nenhum ponto final, interminável em ambas as direções — nunca pode ser totalmente medida.
Os pontos finais são toda a diferença: quanto mais pontos finais, mais dócil é a linha. Um segmento é segurado em ambas as extremidades, então seu comprimento pode ser medido; nada segura uma linha, então ela nunca se esgota.
Dois fatos incontestáveis
Dois fatos básicos ancoram quase todos os argumentos geométricos:
- Por dois pontos passa exatamente uma linha. Quando duas pessoas seguram cada uma uma extremidade de uma corda de pendurar quadro, ela estica em uma única linha reta — é esse fato em ação;
- Duas linhas distintas se encontram em no máximo um ponto. Se duas linhas compartilhassem dois pontos, elas teriam que ser a mesma linha.
O segundo fato tem uma exceção importante: linhas paralelas nunca se encontram, então seu número de interseções é zero. E quando uma linha encontra um plano, a história muda novamente — uma linha perfura um plano em exatamente um ponto.
Planos e suas costuras
Uma folha de papel, uma parede, um lago calmo — cada um desempenha o papel de um plano: plano, reto e infinitamente estendido. Papel real tem bordas; um plano matemático não tem. Onde dois planos se encontram, a costura é sempre uma linha reta:
- O teto e uma parede se intersectam ao longo de uma dobra perfeitamente reta;
- No canto de uma sala, duas paredes e o piso se intersectam em pares, produzindo três linhas — e essas três linhas passam por um único ponto.
Formas sólidas são construídas exatamente a partir de tais faces, linhas e pontos; a lição sobre formas sólidas conta essa história.
Experimente a matemática
Uma linha através de A e B
Através do ponto A sozinho, você pode desenhar infinitas linhas — fixe sua caneta em A e gire-a. Através de B sozinho, também infinitas. Mas através de A e B juntos passa exatamente uma linha. Infinito mais infinito, mas uma restrição extra torna a resposta única.
Conte o canto
Um canto de sala é cercado por três planos: duas paredes e o piso. Encontrando-se em pares, eles produzem uma costura cada — 3 linhas no total — e todas as três linhas passam pelo mesmo ponto. Conte ao contrário: um canto é 1 ponto, 3 linhas e 3 planos. A geometria nunca é inventada do nada; ela se esconde na própria sala ao seu redor.
Continue caminhando por pontos e linhas, e eles se abrem em ângulos.
Verifique-se
Questionário rápido
1. Quantas linhas passam por dois pontos diferentes?
2. Que tipo de linha tem um comprimento mensurável?
3. Dois planos não paralelos se intersectam em quê?