Vetores

"Caminar 3 quilômetros para frente" deixa algo de lado — em que direção? 3 km para leste e 3 km para norte terminam em lugares muito diferentes. Uma quantidade que carrega tanto magnitude quanto direção, como o deslocamento, é um vetor; uma que tem só magnitude é um escalar, como 3 kg ou 20 dólares. Velocidade reporta só a magnitude — um escalar; adicione uma direção e ela é promovida a velocidade, um vetor.

Componentes: divida a flecha em dois passos

No plano de coordenadas, um vetor pode ser escrito como um par $(3, 4)$: 3 para leste primeiro, depois 4 para norte. Este par é chamado de componentes — um voo inclinado dividido em "uma caminada horizontal + uma caminada vertical".

Como usar

x3y-2

(3, -2) → Quadrante IV

Ande x passos horizontalmente, depois y passos verticalmente — o par ordenado (x, y) fixa exatamente um ponto.

Arrasta os controles deslizantes e siga o caminho traceado, horizontal primeiro e depois vertical: da origem a $(3, -2)$ significa "3 para o lado, −2 para cima (isto é, 2 para baixo)". Um vetor que começa na origem é um vetor posição — as próprias coordenadas são suas componentes.

Adição: nariz a cauda

3 para leste e 4 para norte, depois 1 mais para leste e 2 mais para norte — onde você está agora? A adição de vetores simplesmente soma as componentes separadamente:

$(3, 4) + (1, 2) = (4, 6)$

Geometricamente, isso é nariz a cauda: a cauda da segunda flecha encontra a cabeça da primeira, e a flecha desde o início até o fim é a soma. A ordem não importa — leste e depois norte termina exatamente onde norte e depois leste termina.

Escala e magnitude

Para estirar um vetor a duas vezes seu comprimento, multiplique ambas as componentes por 2:

$2 \times (-1, 5) = (-2, 10)$

Um factor negativo o gira: $-1 \times (3, 4) = (-3, -4)$ — mesma longitud, direção opuesta.

Quanto mede a própria flecha? Trata as componentes como os dois catetos de um triângulo retângulo e invoque o teorema de Pitágoras:

$|(3, 4)| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$

3 km para leste e depois 4 km para norte são exatamente 5 km em linha reta — o trio 3-4-5 novamente. Outro: $|(-6, 8)| = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

A perspectiva de translação

O temperamento mais distintivo de um vetor: importa quanto se viaja, não de onde se parte. Desenhado na origem ou em qualquer outro lugar, $(3, 4)$ é a mesma flecha. Por isso, a translação de uma figura se descreve em uma frase: adicione o mesmo vetor a todos os pontos — $(2, 3)$ desliza toda a figura 2 à direita e 3 para cima, forma e tamanho intocados. Atrás de cada figura deslizante em Transformations está esta ideia.

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Questionário rápido

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0 / 3 corretas0 / 3 corretas

1. 1. Qual é a magnitude do vector (3, 4)?

   5712

2. 2. Quanto dá (2, -1) + (1, 3)?

   (3, 2)(3, 4)(2, 2)

3. 3. Reduz o vector (2, 5) à metade do seu comprimento. O que obtén?

   (1, 2.5)(4, 10)(2, 2.5)