Coordenadas Cartesianas

Um ingresso de cinema diz "Fileira 5, Assento 3" — não é preciso perguntar a ninguém, você vai direto ao seu lugar: encontre a fileira 5, depois conte até o assento 3. Há mais de trezentos anos, o matemático Descartes levou esse truque de informar assentos para a matemática: desenhe duas retas numéricas perpendiculares, e cada ponto no plano possui um endereço único.

Duas retas numéricas, um mapa

Cada uma das duas retas tem uma função:

• A horizontal é o eixo x, positivo para a direita;
• A vertical é o eixo y, positivo para cima;
• Onde elas se cruzam fica a origem $O$, com o endereço $(0, 0)$.

O endereço de um ponto é escrito como um par ordenado $(x, y)$: horizontal primeiro, vertical depois. $(3, 5)$ e $(5, 3)$ são dois pontos diferentes — a ordem é a regra, e é exatamente isso que "ordenado" significa.

Como caminhar até (2, 3)

Ler coordenadas é como caminhar, com o lema horizontal primeiro, depois vertical: comece na origem, dê 2 passos para a direita ao longo do eixo x, depois 3 para cima — e você chega a $(2, 3)$. Para ler as coordenadas de um ponto, veja com qual número ele se alinha no eixo x e com qual no eixo y, depois informe-os na mesma ordem.

O código dos sinais dos quatro quadrantes

Os dois eixos dividem o plano em quatro partes, numeradas no sentido anti-horário a partir do canto superior direito: quadrantes I, II, III, IV. Não é preciso decorar o mapa — basta observar os sinais:

• Quadrante I $(+, +)$: x e y são ambos positivos;
• Quadrante II $(-, +)$: x negativo, y positivo — superior esquerdo;
• Quadrante III $(-, -)$: ambos negativos — inferior esquerdo;
• Quadrante IV $(+, -)$: x positivo, y negativo — inferior direito.

Os próprios eixos não pertencem a nenhum quadrante — um ponto sobre um eixo tem pelo menos uma coordenada igual a $0$, como $(4, 0)$.

Quadro de Coordenadas

Como usar

x3y-2

(3, -2) → Quadrante IV

Ande x passos horizontalmente, depois y passos verticalmente — o par ordenado (x, y) fixa exatamente um ponto.

Arraste os controles deslizantes de x e y e observe o ponto percorrer o plano enquanto o painel de sinais anuncia em qual quadrante ele vive. Dê a si mesmo três missões: mover o ponto para o quadrante II; encontrar um ponto "vivendo no eixo x"; depois fazer x e y compartilharem um sinal — e ver em quais duas regiões o ponto pode cair.

Para que servem os endereços

• Mapas e navegação: longitude e latitude são um par de coordenadas — "30° N, 120° E" fixa um ponto na própria Terra;
• Mundos de jogos: muitos jogos escrevem a posição de um personagem como $(x, y)$, e mundos 3D carregam um $z$ extra;
• Cinemas e salas de aula: fileira e assento são coordenadas em sua forma mais simples.

Mais tarde, em Equação de uma Reta, você verá que uma reta é simplesmente a fila organizada de todos os pontos $(x, y)$ que satisfazem $y = mx + b$ — e cada $(x, y)$ ali é uma coordenada de hoje. As entradas e saídas de Variáveis e a Máquina de Funções entram no mesmo par de parênteses.

Verifique-se

Questionário rápido

Tentar de novo

0 / 3 corretas0 / 3 corretas

1. 1. Em qual quadrante fica o ponto (-3, 4)?

   Quadrante IIQuadrante IIIQuadrante IV

2. 2. A partir da origem, você caminha 4 passos para a direita e 2 passos para baixo. Onde você chega?

   (4, -2)(-2, 4)(-4, 2)

3. 3. Um ponto fica exatamente sobre o eixo x. O que há de especial em suas coordenadas?

   y = 0x = 0x = y