Introdução às Matrizes

Dados alinhados em linhas e colunas formam uma matriz — uma tabela organizada de números. Os pixels da sua tela, uma tabela de classificação, as fichas de notas de três turmas: todos são parentes das matrizes. Não subestime a tabela — ela pode fazer aritmética por conta própria e pode mover uma figura inteira de uma só vez.

Adição de matrizes e multiplicação por escalar

Adicionar duas matrizes do mesmo formato segue uma regra simples demais para memorizar: some os elementos nas posições correspondentes.

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$

A multiplicação por escalar também ocorre célula por célula: $2 \times \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$. Matrizes de formatos diferentes não podem ser somadas — as posições nem se alinham.

Linha vezes coluna: o evento principal

Os coeficientes de equações simultâneas se organizam em uma matriz como velhos parceiros; a multiplicação em si, porém, se recusa a funcionar célula por célula. Sua regra é linha vezes coluna: o elemento na linha i, coluna j do resultado vem da linha i da matriz da esquerda encontrando a coluna j da matriz da direita — multiplique aos pares e depois some. Observe:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 2\cdot2 & 1\cdot1 + 2\cdot0 \\ 0\cdot1 + 1\cdot2 & 0\cdot1 + 1\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$

O 5 no canto superior esquerdo vem da linha $(1, 2)$ encontrando a coluna $(1, 2)$: $1\times1 + 2\times2 = 5$. As outras três células seguem a mesma receita.

A ordem importa

Entre números comuns, $3 \times 4 = 4 \times 3$; as matrizes perdem essa liberdade. Troque a ordem das duas matrizes acima:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

Antes a resposta era $\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$; agora resulta $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ — troque a ordem e a resposta inteira muda. No mundo das matrizes, $AB = BA$ geralmente falha.

Movendo figuras com matrizes

A regra estranha de linha vezes coluna revela seu verdadeiro significado na geometria. No plano cartesiano, escreva o ponto $(x, y)$ como coluna e deixe uma matriz multiplicá-lo pela esquerda:

$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}$

O novo ponto é $(-y, x)$ — exatamente uma rotação de 90° no sentido anti-horário em torno da origem. Tente dois pontos: $(1, 0)$, apontando para o leste, vira $(0, 1)$, apontando para o norte; $(2, 3)$ vira $(-3, 2)$.

Uma matriz mais a instrução "multiplique por mim" é um comando geométrico. Além da rotação, vêm reflexões e esticamentos — todo o repertório de Transformações está ao alcance de uma matriz.

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Questionário rápido

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0 / 3 corretas0 / 3 corretas

1. 1. Quanto é [1,2,3,4] mais [5,6,7,8] (duas linhas, duas colunas, listadas por linhas)?

   [6,8,10,12][19,22,43,50][6,8,10,10]

2. 2. A multiplicação de matrizes satisfaz AB = BA?

   sempre, assim como os números comunsgeralmente não — a ordem é crucialapenas quando as matrizes são grandes

3. 3. Usando a matriz de rotação, gire o ponto (2, 1) no sentido anti-horário em 90°. O que você obtém?

   (-1, 2)(1, -2)(1, 2)