Sequências e Séries

Números alinhados em ordem formam uma sequência: 1, 3, 5, 7, … cada número é um termo. Padrões Numéricos pediu que você adivinhasse para onde essas filas vão; aqui levamos os dois grupos mais comuns até o fim — aritmético e geométrico — e conhecemos o grande guarda-chuva da adição: Σ.

Sequências aritméticas: passos constantes

Quando cada termo supera o anterior pelo mesmo número, a linha é uma sequência aritmética, e esse número é a diferença comum d. Observe 3, 7, 11, 15, …:

Visão recursiva: próximo termo = termo atual + 4;
Visão explícita: o n-ésimo termo é $a_n = 3 + (n-1) \times 4$ , então o 10º termo é $3 + 36 = 39$ .

A recursão é a ordem de treinamento "fique colado na pessoa à frente"; a fórmula explícita é uma lista de chamada — diga um número, encontre a pessoa diretamente, sem contar desde o início.

O atalho de pareamento de Gauss

Quanto é 1 + 2 + … + 100? Diz a lenda que o jovem Gauss respondeu 5050 antes que o professor terminasse de ler. O truque dele: parear as pontas.

$1 + 2 + \cdots + 100 = (1+100) + (2+99) + \cdots = 101 \times 50 = 5050$

100 números formam 50 pares, cada par somando 101. Em geral, a série aritmética soma

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Confira em um grupo pequeno

A sequência aritmética 3, 7, 11, …, 39 tem 10 termos. Fórmula: $S_{10} = \frac{10 \times (3+39)}{2} = 210$ . Pareamento honesto: 3+39=42, 7+35=42, todos os cinco pares dão 42, $42 \times 5 = 210$ . Dois caminhos, uma resposta.

Sequências geométricas: cada vez mais rápido

Quando cada termo é multiplicado pelo mesmo número, a linha é uma sequência geométrica, e esse número é a razão comum r. Para 1, 2, 4, 8, … a forma explícita é $a_n = 2^{n-1}$ , e o 20º termo já chega a $2^{19} = 524288$ . A curva sempre crescente dos juros compostos é exatamente crescimento geométrico.

Dobrar uma folha 42 vezes

Uma folha com 0,1 mm de espessura dobra de espessura a cada dobra: depois de 42 dobras ela fica com $0.1 \times 2^{42}$ mm — cerca de $4.4 \times 10^{11}$ mm, algo como 440000 km, além dos 380000 km até a Lua. Nenhuma folha consegue de fato sobreviver a 42 dobras, mas os números realmente se atrevem a crescer.

Lendo o sinal de somatório Σ

A letra grega maiúscula Σ (sigma) é uma abreviação para "some tudo":

$\sum_{k=1}^{100} k = 1 + 2 + \cdots + 100 = 5050$

Leia como "deixe k ir de 1 a 100 e some cada um". k é o índice de somatório: o subscrito é o começo, o sobrescrito é o fim. Mais uma leitura: $\sum_{k=1}^{5} k^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55$ . E algumas somas nunca chegam exatamente lá: $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots$ continua se aproximando de 2, mas sempre fica um pouco abaixo — a história das séries infinitas continua em Limites.

Confira você mesmo

Questionário rápido

0 / 3 corretas0 / 3 corretas

1. Qual é o 20º termo da sequência aritmética 5, 9, 13, …?
2. Quanto é 1 + 2 + 3 + … + 100?
3. Qual é a regra da sequência 2, 6, 18, 54, …?