Règles du sinus et du cosinus

Les triangles rectangles bénéficient d'un soutien en coulisses : l'hypoténuse prend sa place et sin, cos, tan sont à disposition. Mais les triangles du monde réel — mesurer une rivière, localiser un bateau, concevoir une ferme de toit — n'ont généralement aucun angle droit. Ce sont des triangles obliques, et ils disposent de deux armes qui leur sont propres : la règle du sinus et la règle du cosinus. Toutes deux répondent au même type de question — étant donnés certains côtés et angles, calculer tout le reste.

La règle du sinus : les côtés rencontrent leurs angles

Dans tout triangle, chaque côté fait face à un angle. La règle du sinus dit : chaque côté divisé par le sinus de son angle opposé donne la même valeur pour les trois côtés :

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

L'intuition est simple : un angle plus grand s'ouvre plus large et pousse son côté plus long, donc le plus grand angle doit faire face au côté le plus long. La règle du sinus transforme cette association en une équation exacte. Elle brille lorsque vous connaissez deux angles et un côté quelconque : le troisième angle vient gratuitement de la somme des angles égale à $180^\circ$ , et une proportion de plus livre tous les côtés restants.

Mesurer une rivière

Un arbre se tient à $T$ sur la rive opposée. Disposez une ligne de base $AB = 100$ m le long de votre rive. En $A$ , la ligne de visée $AT$ fait $74^\circ$ avec la rive ; en $B$ , la ligne de visée $BT$ fait $61^\circ$ . Dans le triangle $ABT$ , l'angle à l'arbre est $180 - 74 - 61 = 45^\circ$ . Le côté $AT$ fait face à l'angle $B$ , et $AB$ fait face à l'angle $T$ , donc la règle du sinus donne :

$\frac{AT}{\sin 61^\circ} = \frac{100}{\sin 45^\circ}$

$AT = 100 \times \frac{\sin 61^\circ}{\sin 45^\circ} \approx 100 \times \frac{0,8746}{0,7071} \approx 124$

Environ 124 mètres de $A$ à l'arbre — la rivière est mesurée sans entrer dans l'eau.

La règle du cosinus : Pythagore, amélioré

Le théorème de Pythagore ne sert que les angles droits. Remplacez l'angle droit par n'importe quel angle $C$ , et l'équation prend une remise :

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

Lorsque $C = 90^\circ$ , $\cos C = 0$ et tout le terme soustrait disparaît, redonnant le théorème de Pythagore — c'est pourquoi il s'agit d'une véritable extension. Plus l'angle $C$ est petit, plus $\cos C$ est proche de 1, plus on soustrait, et plus $c$ devient court ; plus l'angle est grand, plus $c$ devient long. La règle gère bien deux tâches : étant donnés deux côtés et l'angle inclus, trouver le troisième côté ; étant donnés les trois côtés, l'inverser ( $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ ) pour trouver un angle. La lire à l'envers fonctionne tout aussi bien — avec trois côtés connus, calculez d'abord le plus grand angle, puis confiez les deux autres à la règle du sinus, bien plus précise que n'importe quel rapporteur.

Vérification avec 3-4-5

Prenons le triangle rectangle familier 3-4-5 : $a = 3$ , $b = 4$ , $c = 5$ , $C = 90^\circ$ . Substituez dans la règle du cosinus : $25 = 9 + 16 - 2 \times 3 \times 4 \times 0 = 25$ , exactement juste — la règle a dégénéré en Pythagore.

Maintenant, inclinez l'angle : avec les mêmes 3 et 4 mais un angle inclus de $C = 60^\circ$ , où $\cos 60^\circ = 0,5$ , nous obtenons $c^2 = 9 + 16 - 24 \times 0,5 = 13$ , donc $c = \sqrt{13} \approx 3,61$ . Réduire l'angle de $90^\circ$ à $60^\circ$ a raccourci le troisième côté, comme promis.

Quelle arme, quand

Faites correspondre l'outil à ce que vous savez :

Deux angles et un côté quelconque → la règle du sinus (troisième angle inclus gratuitement) ;
Deux côtés et l'angle entre eux → la règle du cosinus trouve le troisième côté ;
Les trois côtés → la règle du cosinus réarrangée trouve un angle ;
Un angle droit → les vieux amis Pythagore et la trigonométrie suffisent.

Moyen mnémotechnique : cherchez l'angle inclus. S'il est là, utilisez la règle du cosinus ; si les angles donnés sont ceux dont vous connaissez les côtés opposés, utilisez la règle du sinus. Pour approfondir les rapports et les identités, visitez Identités trigonométriques ; la classification et les propriétés des triangles se trouvent dans Triangles.

Vérifiez vos connaissances

Quiz rapide

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. Quelle équation est la règle du sinus ?
2. Avec a=3, b=4 et C=90°, la règle du cosinus donne c = ?
3. Vous connaissez deux côtés et l'angle entre eux. Quelle arme en premier ?