Formes solides

Les formes sur papier sont plates ; une boîte à chaussures se tient debout. Passer du plat au solide ajoute une dimension — et quelques choses qui valent la peine d'être comptées. Sur le plan, nous avons étudié le périmètre et l'aire ; dans l'espace, les vedettes sont les faces, les arêtes, les sommets et le volume.

Du plat au solide

Les formes plates n'ont que la longueur et la largeur, comme un triangle, un cercle ou un rectangle. Les formes solides ajoutent la hauteur et peuvent contenir des choses. Trois mots décrivent tout solide :

Face : une partie plate de la surface ;
Arête : un segment où deux faces se rencontrent ;
Sommet : un point où les arêtes se rencontrent.

Prenons un cube : 6 faces, 12 arêtes, 8 sommets.

Une astuce pour compter les arêtes

Chaque arête est partagée par deux faces, donc le nombre d'arêtes est égal au total des côtés de toutes les faces ÷ 2. Un cube a 6 faces avec 4 côtés chacune : $6 \times 4 \div 2 = 12$ arêtes.

Formule d'Euler : un motif que l'on peut compter

Pour tout polyèdre sans trou, le nombre de sommets $V$ , d'arêtes $E$ et de faces $F$ obéit à une identité :

$V - E + F = 2$

Cube : $8 - 12 + 6 = 2$ ✓
Pyramide à base carrée : 5 sommets, 8 arêtes, 5 faces — $5 - 8 + 5 = 2$ ✓

Vérifions-en une de plus : le prisme triangulaire

Un prisme triangulaire a deux bases triangulaires et trois côtés rectangulaires : 6 sommets, $3 + 3 + 3 = 9$ arêtes, 5 faces. En remplaçant : $6 - 9 + 5 = 2$ . Cela fonctionne encore.

InteractifConstructeur de solides

Comment utiliser

Longueur l4Largeur w3Hauteur h2

V = l × w × h = 4 × 3 × 2 = 24

Couche inférieure

Couches

Construisez un cuboïde à partir de cubes unitaires : posez une couche inférieure de $l \times w$ cubes, empilez $h$ couches, et vous tenez $l \times w \times h$ cubes au total. Devenez habile à compter les cubes et le volume viendra naturellement ensuite.

La famille des solides courants

Cuboïde et cube : 6 faces, toutes rectangulaires (ou carrées) ;
Prisme : deux bases parallèles identiques avec des côtés rectangulaires, comme un prisme triangulaire ou hexagonal ;
Pyramide : une base avec des côtés qui sont tous des triangles, se rejoignant à un sommet ;
Cylindre : deux faces circulaires plus une surface incurvée ;
Cône : une face circulaire avec une surface incurvée qui s'effile en un point ;
Sphère : une surface incurvée partout — pas d'arêtes, pas de sommets.

Ne forcez pas la formule d'Euler

Les cylindres, les cônes et les sphères ont des surfaces incurvées, donc ce ne sont pas des polyèdres et $V - E + F = 2$ ne s'applique pas — la formule vaut pour les solides délimités par des faces plates, sans trou au milieu.

Patrons et solides autour de vous

Coupez une boîte le long de quelques arêtes et aplatissez-la : le résultat plat est un patron. Le patron d'un cube est 6 carrés reliés par des arêtes — et il existe 11 agencements différents. La conception d'emballages, l'origami et le travail de la tôle reposent tous sur des patrons.

Les solides se cachent à la vue : une canette de soda est un cylindre, un cornet de glace est un cône, un ballon de football est proche d'une sphère, une boîte d'expédition est un cuboïde, les pyramides d'Égypte sont des pyramides à base carrée. Regardez autour de votre chambre et trouvez les cinq.

Vérifiez vos connaissances

Quiz rapide

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. Combien d'arêtes a un cube ?
2. Pour une pyramide à base carrée, que vaut V − E + F ?
3. Quel solide a exactement une face circulaire et un sommet ?