Diagrammes de Venn

Certains camarades de classe ont rejoint le club de football, d'autres le club de basket-ball, et quelques-uns ont rejoint les deux. Les listes sont sur deux feuilles de papier, et compter qui est listé deux fois — ou nulle part — devient un vrai casse-tête. Dessinez les deux listes comme deux cercles et tout devient clair d'un coup. C'est un diagramme de Venn : des cercles qui se chevauchent pour que les ensembles puissent s'aligner en ordre. La collecte de données commence par un questionnaire (voir sondages et échantillonnage) ; cette leçon consiste à démêler les données une fois qu'elles sont revenues.

Intersection : le chevauchement

Superposez deux cercles et la région partagée au milieu est l'intersection — les membres qui appartiennent aux deux groupes. Les étudiants qui aiment à la fois le football et le basket-ball se tiennent exactement là.

Disons que l'ensemble $A$ a 20 personnes, l'ensemble $B$ a 14, et l'intersection contient 6. Alors la partie appartenant à $A$ seul est de $20 - 6 = 14$ personnes — soustrayez d'abord les 6 pour que personne ne soit compté deux fois.

Union : les deux cercles comme un seul

Toute la zone couverte par les deux cercles est l'union — tout le monde dans au moins un groupe, éventuellement les deux. Additionner directement les tailles des groupes compterait l'intersection deux fois, donc l'intersection doit être soustraite à nouveau :

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Avec les nombres ci-dessus : $20 + 14 - 6 = 28$ personnes. Ce 6 soustrait est exactement la foule doublement comptée, comptée une seule fois enfin.

Complément : le monde en dehors du cercle

À l'intérieur du cercle vivent les membres ; à l'extérieur vivent aussi des histoires. Le complément est tout ce qui est "pas dans l'ensemble". Sur 40 étudiants, 26 aiment les mathématiques — donc le complément, ceux qui ne les aiment pas, est de $40 - 26 = 14$ . Les sondages négligent le plus souvent précisément les personnes en dehors du cercle.

Exemple travaillé : deux clubs, une image

Football et basket-ball

Dans une classe de 40, 25 étudiants aiment le football, 18 aiment le basket-ball, et 10 aiment les deux. Combien aiment uniquement le football, uniquement le basket-ball, et ni l'un ni l'autre ?

Football uniquement : $25 - 10 = 15$ ; basket-ball uniquement : $18 - 10 = 8$ ; l'intersection du milieu contient 10. En additionnant les trois régions, $15 + 10 + 8 = 33$ étudiants aiment au moins un sport, donc $40 - 33 = 7$ n'aiment ni l'un ni l'autre. Un diagramme circulaire répond à quatre questions en un seul balayage.

Et trois cercles ?

Remplacez par trois cercles — sait nager, sait faire du vélo, sait patiner — et l'intérieur de l'image se divise en 7 régions : 3 appartenant à exactement un groupe, 3 à exactement deux, et 1 aux trois, puisque $3 + 3 + 1 = 7$ . Chaque cercle supplémentaire double à peu près les régions, donc les problèmes à trois ensembles doivent être comptés région par région. Cette habitude de compter les régions est la base pour compter les résultats dans probabilités.

Vérifiez-vous

Quiz rapide

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. L'ensemble A a 20 personnes, l'ensemble B a 14, et l'intersection a 6. Quelle est la taille de l'union ?
2. Dans une classe de 30, 18 étudiants aiment le football, 15 aiment le basket-ball et 8 aiment les deux. Combien n'aiment ni l'un ni l'autre ?
3. Deux ensembles ont une intersection vide. Qu'est-ce que cela signifie ?