Règles de dérivation

À la leçon précédente, trouver la pente d’une courbe demandait des sécantes, des limites et pas mal d’efforts. Si chaque dérivée exigeait tout ce rituel, le calcul serait un travail de forçat. La bonne nouvelle : on ne souffre qu’une seule fois — les mathématiciens ont condensé les résultats en quelques courtes règles de dérivation, et après cela, la plupart des dérivées s’écrivent en un clin d’œil.

La pente d’une constante est nulle

Parcours une ligne horizontale aussi loin que tu veux et la hauteur ne change jamais, donc la dérivée d’une constante est nulle :

$\frac{d}{dx} \, 7 = 0$

Ne sous-estime pas ce 0 : cela signifie que tout terme constant dans une somme sort simplement de la dérivation, ne laissant que les parties qui bougent réellement.

Règle de la puissance : fais descendre l’exposant

Pour $f(x) = x^n$ , la dérivée est

$f'(x) = n \, x^{n-1}$

La recette comporte deux lignes : fais descendre l’exposant comme coefficient, puis réduis l’exposant de un. Essaie avec $f(x) = x^3$ :

$f'(x) = 3x^2$

La règle prédit une pente de $3 \times 1^2 = 3$ en $x = 1$ . Les paroles ne coûtent rien — vérifie-le avec une sécante, comme la dernière fois.

InteractifVérificateur de pente

Comment utiliser

Point x₀0.5Pas h1.5

Pente de la sécante

2.500

Pente de la tangente

1.000

Fais glisser h vers 0 et la sécante épouse la tangente — c’est la dérivée.

Essaie : la sécante est d’accord

Pour $f(x) = x^3$ , on part de $x = 1$ avec un écart $h$ . Avec $h = 1$ , la pente de la sécante est $(2^3 - 1) \div 1 = 7$ ; avec $h = 0.1$ , elle est $(1.331 - 1) \div 0.1 = 3.31$ ; avec $h = 0.01$ , elle est $3.0301$ ... qui descend vers 3. La règle donne exactement cette valeur limite.

L’exposant n’a pas besoin d’être un nombre entier : $\sqrt{x} = x^{1/2}$ a pour dérivée $\frac{1}{2}x^{-1/2}$ — voir Exposants pour comprendre comment fonctionnent les exposants fractionnaires.

Multiplier et additionner : les dérivées jouent le jeu

Deux autres règles faciles :

Constante multiplicative : étire une courbe par un facteur et sa pente s’étire du même facteur. La dérivée de $f(x) = 5x^2$ est $f'(x) = 10x$ — le 5 reste dehors, intact, pendant que la règle de la puissance s’occupe de $x^2$ ;
Somme : la dérivée d’une somme est la somme des dérivées. On dérive terme par terme ; chaque terme s’occupe de ses affaires.

Tout assembler : un exemple traité

Empile les règles pour dériver $f(x) = x^2 + 3x$ :

$x^2$ se dérive en $2x$ ;
$3x$ se dérive en $3 \times 1 = 3$ — puisque $x$ est $x^1$ , faire descendre le 1 laisse $x^0 = 1$ .

Donc

$f'(x) = 2x + 3$

La dérivée est une fonction à part entière : pente 3 en $x = 0$ , pente 1 en $x = -1$ ; la pente atteint zéro en $x = -\frac{3}{2}$ — c’est exactement le fond de cette parabole. Une règle, et même l’emplacement de la vallée est offert.

Chacune de ces règles a été démontrée une fois, soigneusement, avec des limites — et n’a plus jamais besoin d’être démontrée. Tu as travaillé dur une fois dans Introduction aux dérivées, et désormais chaque $x^n$ prend quelques secondes. Les mathématiques sont pleines de telles affaires : démontrer une fois, utiliser pour toujours.

Vérifie-toi

Quiz rapide

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. Pour f(x) = x⁵, la dérivée est ?
2. Quelle est la dérivée de la constante 9 ?
3. Pour f(x) = x² + 4x, la dérivée est ?