Introduction aux dérivées

Descends une route de montagne : certains passages te font appuyer sur les freins, d’autres demandent à peine une pédale. La raideur de cette route n’est pas un seul nombre — elle change tout au long du chemin. Comment dire exactement à quel point c’est raide à cet instant précis ? C’est la question à laquelle répondent les dérivées.

Une droite n’a qu’une seule pente

Une droite tient sa promesse : où que tu te trouves, un pas en avant t’élève de la même proportion, donc une seule pente décrit toute la droite — voir Équation d’une droite.

Une courbe, elle, n’a pas droit à un tel arrangement. La parabole $y = x^2$ s’aplatit à gauche et devient plus raide à droite ; demander sa pente n’a donc aucun sens tant qu’on ne demande pas d’abord : pente en quel point ?

La pente moyenne d’abord, puis on se rapproche de l’instant

Obtenir la raideur exacte d’un seul coup est difficile, alors on prend d’abord du recul. Choisis deux points sur la courbe et relie-les par une droite — cette droite est une sécante. Sa pente est la variation verticale sur la progression horizontale :

$\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

C’est la pente moyenne entre les deux points — la même idée que la vitesse moyenne dans Vitesse et mouvement : la pente d’une corde sur une courbe de position est la vitesse moyenne sur cet intervalle.

Maintenant, la magie : maintiens un point fixe et fais glisser l’autre le long de la courbe vers lui. À mesure que $h$ diminue, la pente de la sécante se stabilise vers une valeur définie ; quand les deux points coïncident presque, la sécante est devenue une tangente — épousant la courbe, sa pente est la vraie raideur de la courbe en ce point.

InteractifDe la sécante à la tangente

Comment utiliser

Point x₀0.5Pas h1.5

Pente de la sécante

2.500

Pente de la tangente

1.000

Fais glisser h vers 0 et la sécante épouse la tangente — c’est la dérivée.

Essaie : regarde la pente se stabiliser

Pour $f(x) = x^2$ , prends les pentes des sécantes de $x = 1$ à un point distant de $h$ . Avec $h = 1$ , on obtient $(4-1) \div 1 = 3$ ; avec $h = 0.1$ , on obtient $2.1$ ; avec $h = 0.01$ , on obtient $2.01$ ... qui avancent vers $2$ . La raideur de la courbe en $x = 1$ est donc $2$ .

La raideur en chaque point est elle-même une fonction, notée $f'(x)$ et lue « f prime » — son nom est la dérivée.

Ce que signifie la prime

$f'(x)$ est une nouvelle fonction : donne-lui une position $x$ , et elle renvoie la pente de la courbe en ce point. Transformer $f$ en $f'$ , c’est comme transformer un compteur kilométrique en compteur de vitesse.

Teste-la sur x²

Pour $f(x) = x^2$ , le calcul donne $f'(x) = 2x$ . On vérifie :

En $x = 1$ , la pente est $f'(1) = 2$ ;
En $x = 2$ , la pente est $f'(2) = 4$ .

La parabole devient effectivement plus raide vers la droite, passant d’une pente de 2 à 4 — ça colle. Vérifie aussi une moyenne : entre $x = 2$ et $x = 4$ , $\frac{16-4}{4-2} = 6$ , ce qui tombe exactement entre les pentes tangentes 4 et 8 aux extrémités. Tout concorde.

À quoi servent les dérivées

Une dérivée est un compteur de vitesse pour le changement :

Dérive la position par rapport au temps et tu obtiens la vitesse vectorielle — le chiffre sur le compteur de vitesse d’une voiture est en réalité une dérivée de la position ;
Dérive une population, une température ou des ventes par rapport au temps et tu apprends à quelle vitesse elles augmentent ou diminuent ;
Les ingénieurs les utilisent pour trouver les maxima et minima : là où la pente passe de positive à négative, c’est le sommet de la colline.

Tout le calcul infinitésimal repose sur ce même geste : compresser une moyenne en un instant.

Vérifie-toi

Quiz rapide

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. Pour f(x) = x², la dérivée est f'(x) = 2x. Quelle est la pente de la courbe en x = 3 ?
2. Pour f(x) = x², quelle est la pente de la sécante joignant x = 1 et x = 2 ?
3. Si l’on dérive la courbe de position par rapport au temps, on obtient ?