Extrema et optimisation

Une fois que tu sais dériver, la question la plus naturelle apparaît : où cette fonction est-elle la plus haute, et où la plus basse ? Une clôture qui enferme la plus grande aire, un prix qui rapporte le plus grand profit — ce sont deux chasses au « sommet ». Le calcul infinitésimal transforme la chasse aux sommets en une procédure : dériver, mettre à zéro, lire les signes. Trois étapes, et les sommets et les vallées se révèlent.

Points critiques : là où la dérivée est nulle

À l’instant où tu te tiens sur un sommet, tu ne montes ni ne descends — la pente est nulle. Les sommets et les vallées d’une fonction, c’est pareil : la tangente est horizontale et la dérivée s’annule. Les solutions de $f'(x) = 0$ s’appellent les points critiques. Note qu’il ne s’agit que d’une présélection : chaque sommet et chaque vallée y figurent, mais tout ce qui y figure n’est pas un sommet ou une vallée (certains ne sont qu’une portion plate). Une fonction peut porter plusieurs points critiques — comme une route sinueuse avec plusieurs sommets et creux — et la procédure s’exécute une fois pour chaque candidat. La première étape consiste donc toujours à résoudre $f'(x) = 0$ et à convoquer les candidats.

Lire les sommets et les vallées grâce aux signes

Le signe de la dérivée de part et d’autre d’un point critique annonce son identité :

Positif puis négatif : monte, puis descend — un maximum local (un sommet) ;
Négatif puis positif : descend, puis monte — un minimum local (un creux) ;
Même signe des deux côtés : un palier, ni sommet ni vallée.

InteractifObservatoire des changements de pente

Comment utiliser

Point x₀0.5Pas h1.5

Pente de la sécante

2.500

Pente de la tangente

1.000

Fais glisser h vers 0 et la sécante épouse la tangente — c’est la dérivée.

Fais glisser $x_0$ vers 0 et regarde la pente de cette parabole passer de négative à positive, en passant exactement par zéro au fond du creux — négatif puis positif, un minimum local typique. Les sommets et les vallées de toute fonction obéissent à la même règle de changement de signe.

Deux problèmes traités

Deux problèmes — l’un géométrique, l’autre commercial — suivent exactement la même procédure.

Plus grande aire avec 20 mètres de clôture

Clôture un rectangle avec 20 mètres. Soit $x$ la largeur ; la longueur est alors $10 - x$ , et l’aire est

$A(x) = x(10 - x) = 10x - x^2$

On dérive : $A'(x) = 10 - 2x$ . La mettre à zéro donne $x = 5$ . On vérifie les signes : en $x = 3$ , $A' = 4 > 0$ (ça monte encore) ; en $x = 7$ , $A' = -4 < 0$ (ça redescend déjà) — positif puis négatif, un vrai sommet. La longueur vaut aussi 5, donc la plus grande aire est $5 \times 5 = 25$ mètres carrés : c’est le carré qui gagne.

Prix pour un profit maximal

Chaque article coûte 10 à fabriquer, et à un prix de $p$ tu vends $(100 - p)$ articles. Le profit est

$P(p) = (p - 10)(100 - p) = -p^2 + 110p - 1000$

On dérive : $P'(p) = -2p + 110$ , nul en $p = 55$ . On vérifie les signes : en $p = 50$ , $P' = 10 > 0$ ; en $p = 60$ , $P' = -10 < 0$ — encore un sommet positif puis négatif. Prix à 55, vente de 45 articles, et le profit est $45 \times 45 = 2025$ .

N’oublie pas les extrémités

Sur un domaine limité, les valeurs extrêmes peuvent se cacher aux extrémités — là où la pente n’existe que d’un seul côté, la dérivée n’est pas nécessairement nulle. Les domaines réels arrivent en général avec des bords : une largeur de clôture ne peut pas être négative, et un prix ne peut pas tomber en dessous du coût — écris d’abord les bornes, sinon la vérification des extrémités n’a rien à viser. Les deux problèmes ci-dessus ont eu droit à cette vérification de courtoisie : les extrémités de la clôture $x = 0$ et $x = 10$ donnent une aire de 0, et les extrémités du prix $p = 10$ (travailler pour rien) et $p = 100$ (aucun acheteur) donnent un profit de 0 — très loin des champions intérieurs 25 et 2025. La procédure complète, c’est trois étapes plus un coup d’œil : résoudre $f'(x) = 0$ , vérifier les signes, comparer les extrémités. Les sommets et les vallées des paraboles sont faciles à repérer sur un graphique — voir Représentation graphique des quadratiques ; la procédure de dérivation vient de Introduction aux dérivées, avec une référence rapide dans Règles de dérivation ; la prochaine étape en aval est l’Intégration.

Vérifie-toi

Quiz rapide

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. À gauche d’un point, f′ est positive, à droite elle est négative. Quel est ce point ?
2. Quelle est la dérivée de A(x) = 10x − x² ?
3. Un point critique est-il garanti d’être un maximum ou un minimum ?