Introduction à l’intégration

Les dérivées découpent une fonction de plus en plus finement pour examiner la pente en chaque point ; l’intégration fait le chemin inverse — elle additionne d’innombrables petits morceaux pour reconstituer un tout. Comment une infinité de morceaux peut-elle se sommer en une réponse définie ? Exactement l’idée d’« approche sans fin » issue des limites.

Découper l’aire en bandes

Trouvez l’aire sous $y = x$ de 0 à 2. C’est un triangle : base 2, hauteur 2, aire $\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ .

Même sans la formule du triangle, les bandes se rapprochent de la réponse :

Exemple résolu : des rectangles encadrant l’aire

Couvrez la région avec deux rectangles de largeur 1. En prenant les hauteurs aux extrémités gauches, on obtient $0 \times 1 + 1 \times 1 = 1$ , trop petit ; aux extrémités droites, $1 \times 1 + 2 \times 1 = 3$ , trop grand. La vraie réponse 2 se situe exactement entre les deux. Plus les bandes sont fines, plus les deux estimations se rapprochent de 2 — découpées infiniment fin, elles « valent » 2.

Découpez infiniment fin, puis additionnez le tout — cette opération a un nom officiel : l’intégration.

Le signe ∫ et la primitive

Le signe d’intégrale $\int$ est un S étiré, un rappel que son cœur est la Somme. Son usage le plus courant pose la question : quelle est la fonction dont la dérivée est la fonction que j’ai en main ?

$\int 2x \, dx = x^2 + C$

Puisque $(x^2)' = 2x$ , l’intégrale de 2x est $x^2$ . L’intégration est l’inverse de la dérivation : ce que la dérivée a décomposé, l’intégrale le recompose. Le $C$ supplémentaire est la constante d’intégration — $x^2 + 5$ et $x^2 - 3$ ont tous deux pour dérivée 2x, et C enregistre la différence lors de la reconstitution.

L’intégrale définie : ajouter des bornes

Écrivez l’intervalle au-dessus et en dessous du signe d’intégrale, et la réponse passe d’une famille de fonctions à un nombre unique :

$\int_0^2 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = \frac{4}{2} - 0 = 2$

Exactement l’aire du triangle de la première section ! Avec des bornes, c’est une intégrale définie (un nombre, généralement une aire ou un total) ; sans bornes, une intégrale indéfinie (une famille de fonctions, suivie d’un C).

À quoi sert l’intégration

Distance à partir de la vitesse : en roulant à 30 km/h pendant 2 heures, l’aire sous le graphique vitesse-temps est un rectangle qui vaut $30 \times 2 = 60$ km — l’aire sous le graphique est la distance parcourue. Une vitesse variable fonctionne de la même manière, avec des morceaux au sommet courbe ;
Totaux à partir des débits : de l’eau qui s’écoule à 5 litres par minute fournit 50 litres en 10 minutes ; lorsque le débit monte et descend, additionnez la contribution de chaque petit intervalle — encore l’intégration ;
Relevés de compteurs, probabilité sous une courbe — partout où « quelque chose qui change doit être accumulé », l’intégration est derrière.

Exemple résolu : de la vitesse à la distance

Une voiture roule à 30 km/h pendant 2 heures : distance = aire sous le graphique de vitesse = $30 \times 2 = 60$ km. Si elle roule à 20 km/h pendant la première heure et à 40 km/h pendant la seconde, l’aire devient deux rectangles : $20 \times 1 + 40 \times 1 = 60$ km — découper d’abord, puis additionner.

Deviner, puis vérifier

Avant d’intégrer, demandez-vous quelle fonction a cette dérivée. Devinez un candidat, puis vérifiez en dérivant — cette habitude de « deviner puis vérifier » règle la plupart des intégrales que vous rencontrerez en débutant.

Quiz rapide

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. Sous y = x de 0 à 2 se trouve un triangle. Quelle est son aire ?
2. Quelle fonction a pour dérivée 2x ?
3. En roulant régulièrement à 30 km/h pendant 2 heures : l’aire sous le graphique de vitesse est la distance. Quelle distance ?