Inéquations

Une équation dit « exactement 49 yuans », mais la vie parle plus souvent de « mesurer au moins 1,2 m pour monter » ou de « le sac ne peut pas contenir plus de 10 livres ». Les phrases qui portent « au moins » et « pas plus que » s'écrivent en mathématiques sous forme d'inéquations. La plupart des étapes de résolution viennent directement de la résolution d'équations linéaires — avec un point qui demande une attention particulière, révélé ci-dessous.

Les quatre symboles

$a < b$ : a est inférieur à b, donc a se trouve à gauche de b ;
$a > b$ : a est supérieur à b, donc a se trouve à droite de b ;
$a \le b$ : a est au plus égal à b — plus petit ou exactement égal, les deux conviennent ;
$a \ge b$ : a est au moins égal à b — plus grand ou exactement égal, les deux comptent.

La paire avec le signe égal ( $\le$ , $\ge$ ) est la plus facile à brouiller : « pas plus de 8 personnes » peut être exactement 8 ; « plus de 8 » ne le peut pas — il faut 9 pour satisfaire la condition.

Les représenter sur la droite numérique

La réponse d'une inéquation n'est souvent pas un seul nombre, mais tout un intervalle de nombres, et la droite numérique en donne le portrait :

$x > 3$ : tous les nombres à droite de 3. Dessinez un cercle ouvert en 3 (3 lui-même ne convient pas) et une flèche vers la droite ;
$x \le -1$ : −1 et tout ce qui est à sa gauche. Dessinez un point plein en −1 (−1 convient) et une flèche vers la gauche.

Ouvert ou fermé

Avec un signe égal ( $\le$ , $\ge$ ), le point est fermé — l'extrémité est incluse ; sans signe égal ( $<$ , $>$ ), le cercle est ouvert — l'extrémité est exclue. Une phrase à retenir : égal signifie plein.

Résoudre comme une équation, avec une nuance

Déplacer des termes, ajouter ou soustraire la même quantité des deux côtés — toutes les anciennes manipulations d'équations fonctionnent :

$x + 2 > 5 \implies x > 3$

Mais dès que vous multipliez ou divisez les deux côtés par un nombre négatif, le signe doit s'inverser :

$-2x < 6 \implies x > -3$

Pourquoi ? Les nombres négatifs reflètent la droite numérique : au départ, $2 < 3$ ; après avoir changé les deux signes, cela devient $-2 > -3$ . Retourner le monde transforme l'inférieur en supérieur.

Vérifier pour y croire

Résoudre $-2x < 6$ a donné $x > -3$ . Testez $x = 0$ (à droite de $-3$ ) : le membre de gauche vaut $-2 \times 0 = 0$ , et en effet $0 < 6$ — cela fonctionne. Testez ensuite $x = -4$ (à gauche de $-3$ ) : le membre de gauche vaut $-2 \times (-4) = 8$ , et $8 < 6$ est faux — la région rejetée méritait bien d'être rejetée.

Les inéquations dans la vie quotidienne

Montagnes russes : taille $h \ge 1.2$ m — exactement 1,2 m permet d'entrer ;
Ascenseur : nombre de passagers $n \le 10$ — la onzième personne attend le trajet suivant ;
Batterie de téléphone : une alerte se déclenche lorsque la charge $b \le 20\%$ .

Traduire une phrase en inéquation

« Les visiteurs de plus de 1,4 m achètent un billet adulte » : appelons la taille $h$ mètres. « De plus de » exclut 1,4 lui-même, donc on écrit $h > 1.4$ . Si la règle était « 1,4 m et plus », elle deviendrait $h \ge 1.4$ — un mot de différence, des symboles différents.

Vérifie tes connaissances

Quiz rapide

0 / 3 correct0 / 3 correct

1. Comment écrire « pas plus de 8 personnes » avec des symboles ?
2. Résous -2x < 6. Qu'obtiens-tu ?
3. Sur une droite numérique, comment dessine-t-on l'extrémité de x ≥ 1 ?