Milieu et distance

Marque deux points sur une carte et deux questions apparaissent aussitôt : où se trouve le milieu entre eux, et à quelle distance sont-ils l’un de l’autre ? Sur la grille des coordonnées, les deux questions ont des formules nettes : l’une utilise la moyenne, l’autre utilise le théorème de Pythagore.

Milieu : fais la moyenne des coordonnées

Le milieu de deux points prend la moyenne des coordonnées x et la moyenne des coordonnées y :

$\left( \frac{x_1 + x_2}{2},\ \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$

Pour $(2, 3)$ et $(6, 7)$ : la coordonnée x est $\frac{2+6}{2} = 4$, la coordonnée y est $\frac{3+7}{2} = 5$, donc le milieu est $(4, 5)$. Pourquoi faire la moyenne ? Parce que « pile au centre » signifie à égale distance des deux extrémités — et la moyenne se place exactement au milieu de deux nombres.

Mesure d’abord les cas plats

La distance est immédiate dans deux situations spéciales :

• Même ligne (coordonnées y égales) : la distance est la différence des coordonnées x, par exemple de $(1, 2)$ à $(5, 2)$ il y a 4 unités ;
• Même colonne (coordonnées x égales) : la distance est la différence des coordonnées y.

Les paires obliques ne sont pas aussi généreuses — mais elles donnent bien ces deux « côtés » : de $(2,3)$ à $(6,7)$, l’écart horizontal est $6-2=4$ et l’écart vertical est $7-3=4$.

Distance oblique : Pythagore entre en scène

Considère les écarts horizontal et vertical comme les deux côtés d’un triangle rectangle ; le chemin oblique est l’hypoténuse. De $(0,0)$ à $(3,4)$ : avance de 3 et monte de 4, donc

$d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$

Le triangle classique 3-4-5. Toute distance oblique peut être mesurée en assemblant ainsi un triangle rectangle invisible.

La formule de la distance : Pythagore déguisé

Écris la procédure comme une règle générale et tu obtiens la formule de la distance :

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Ce n’est pas un nouveau théorème : la première différence est le côté horizontal, la seconde est le côté vertical, et c’est toujours Pythagore avec un manteau. Appliqué à $(2,3)$ et $(6,7)$ : $d = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} \approx 5.7$.

Comment utiliser

x3y-2

(3, -2) → Quadrant IV

Avance de x pas horizontalement, puis de y pas verticalement — le couple ordonné (x, y) détermine exactement un point.

Fais glisser les points sur le plan : vois comme la distance est simple sur la même ligne ou la même colonne, puis incline-les et ressens le moment où Pythagore prend le relais.

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Quiz rapide

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0 / 3 correct0 / 3 correct

1. 1. Quel est le milieu de (1, 2) et (5, 6) ?

   (3, 4)(6, 8)(2, 3)

2. 2. Quelle est la distance de (0, 0) à (6, 8) ?

   10147

3. 3. Quelle est la distance de (0, 0) à (5, 12) ?

   13178.5